Um ponto se movimenta de maneira que sua distância ao ponto (1,-1) é sempre igual ao dobro de sua distância à reta 3 x-2 y+6=0. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto. Ou seja, determine a equação que devem satisfazer as coordenadas do ponto em questão.
Lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos no plano ou no espaço que satisfazem a uma determinada condição ou propriedade. Esses pontos formam uma figura ou curva geométrica específica, e cada ponto dessa figura compartilha a mesma relação ou característica definida na condição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a equação que descreve todos os pontos que se movem de tal forma que a distância desse ponto ao ponto fixo (1, -1) é sempre o dobro da distância dele à reta 3x - 2y + 6 = 0. O assunto aqui é lugar geométrico, que é basicamente o conjunto de pontos que satisfazem uma determinada condição. Pra resolver, vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e de pontos a retas na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o ponto móvel de P(x, y). A gente precisa calcular duas distâncias:
  1. Distância de P ao ponto (1, -1):
    A fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
    d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
    Aplicando isso:
    d1 = raiz(x - 1)^2 + (y + 1)^2
  2. Distância de P à reta 3x - 2y + 6 = 0:
    A fórmula para a distância entre um ponto (x, y) e uma reta Ax + By + C = 0 é:
    d = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2
    Aqui, A = 3, B = -2, e C = 6, então:
    d2 = |3x - 2y + 6|raiz3^2 + (-2)^2 = |3x - 2y + 6|raiz13

Passo 3

A condição do problema diz que a distância de P ao ponto (1, -1) é o dobro da distância de P à reta. Ou seja:
d1 = 2d2
Substituindo as expressões de d1 e d2 que encontramos:
raiz(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2 cdot |3x - 2y + 6|raiz13

Passo 4

Vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto para simplificar. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = (2 cdot |3x - 2y + 6|raiz13)^2
Isso fica:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4(3x - 2y + 6)^213

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 13 pra tirar o denominador:
13[(x - 1)^2 + (y + 1)^2] = 4(3x - 2y + 6)^2
Expandindo os termos:
13[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1)] = 4(9x^2 - 12xy + 4y^2 + 36x - 24y + 36)
Simplificando:
13x^2 - 26x + 13 + 13y^2 + 26y + 13 = 36x^2 - 48xy + 16y^2 + 144x - 96y + 144

Passo 6

Vamos juntar todos os termos no lado esquerdo:
13x^2 + 13y^2 - 26x + 26y + 26 - 36x^2 + 48xy - 16y^2 - 144x + 96y - 144 = 0
Combinando os termos semelhantes:
-23x^2 - 3y^2 - 170x + 122y - 118 + 48xy = 0
Podemos reorganizar:
23x^2 + 3y^2 + 170x - 122y + 118 - 48xy = 0

Passo 7

Essa é a equação do lugar geométrico que descreve todos os pontos que satisfazem a condição dada no problema. Geralmente, uma equação com termos x^2, y^2 e xy representa uma cônica, que nesse caso específica é uma hipérbole devido à presença do termo xy.

Resposta

A equação do lugar geométrico é:
23x^2 + 3y^2 + 170x - 122y + 118 - 48xy = 0

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