Um ponto se movimenta de maneira que sua distância ao ponto
é sempre igual ao dobro de sua distância à reta
. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto. Ou seja, determine a equação que devem satisfazer as coordenadas do ponto em questão.
Lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos no plano ou no espaço que satisfazem a uma determinada condição ou propriedade. Esses pontos formam uma figura ou curva geométrica específica, e cada ponto dessa figura compartilha a mesma relação ou característica definida na condição.
Lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos no plano ou no espaço que satisfazem a uma determinada condição ou propriedade. Esses pontos formam uma figura ou curva geométrica específica, e cada ponto dessa figura compartilha a mesma relação ou característica definida na condição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a equação que descreve todos os pontos que se movem de tal forma que a distância desse ponto ao ponto fixo
é sempre o dobro da distância dele à reta
. O assunto aqui é lugar geométrico, que é basicamente o conjunto de pontos que satisfazem uma determinada condição. Pra resolver, vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e de pontos a retas na geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o ponto móvel de
. A gente precisa calcular duas distâncias:
-
Distância de
ao ponto :
A fórmula para a distância entre dois pontose é: Aplicando isso: -
Distância de
à reta :
A fórmula para a distância entre um pontoe uma reta é: Aqui,, , e , então:
Passo 3
A condição do problema diz que a distância de
ao ponto
é o dobro da distância de
à reta. Ou seja:
Substituindo as expressões de
e
que encontramos:
Passo 4
Vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto para simplificar. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Isso fica:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por 13 pra tirar o denominador:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos juntar todos os termos no lado esquerdo:
Combinando os termos semelhantes:
Podemos reorganizar:
Passo 7
Essa é a equação do lugar geométrico que descreve todos os pontos que satisfazem a condição dada no problema. Geralmente, uma equação com termos
,
e
representa uma cônica, que nesse caso específica é uma hipérbole devido à presença do termo
.
Resposta
A equação do lugar geométrico é: