Em um retângulo, a perpendicular traçada de um vértice sobre uma diagonal determina, sobre essa diagonal, segmentos de 64 cm e 36 cm. Calcule o perímetro desse retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um retângulo e, de um dos vértices, traçamos uma perpendicular até a diagonal. Essa perpendicular divide a diagonal em dois segmentos: um de 64 cm e outro de 36 cm. Nosso objetivo aqui é calcular o perímetro desse retângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria sobre retângulos, diagonais e propriedades de triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o retângulo. Imagine um retângulo ABCD, onde AB e CD são os lados maiores, e AD e BC são os lados menores. A diagonal que vamos considerar é a AC. Quando traçamos uma perpendicular do vértice D até a diagonal AC, ela encontra a diagonal no ponto E, dividindo AC em dois segmentos: AE = 64 cm e EC = 36 cm.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa (nesse caso, a perpendicular DE) tem uma propriedade especial: ela divide a hipotenusa em segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes. Ou seja, se temos AE e EC, podemos relacionar com os lados do retângulo.
Passo 4
Vamos chamar os lados do retângulo de AD = a e AB = b. A diagonal AC, então, tem comprimento dado pela fórmula do teorema de Pitágoras:
Também sabemos que a área do retângulo pode ser calculada de duas formas: multiplicando os lados e multiplicando a diagonal pela altura (perpendicular) dividida por 2. Igualando essas duas expressões, podemos encontrar uma relação entre a e b.
Passo 5
Mas há uma maneira mais direta usando as propriedades dos triângulos. A relação que vamos usar é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Agora que temos os lados do retângulo, podemos calcular o perímetro, que é a soma de todos os lados:
Resposta
O perímetro do retângulo é 280 cm.