Em um retângulo, a perpendicular traçada de um vértice sobre uma diagonal determina, sobre essa diagonal, segmentos de 64 cm e 36 cm. Calcule o perímetro desse retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um retângulo e, de um dos vértices, traçamos uma perpendicular até a diagonal. Essa perpendicular divide a diagonal em dois segmentos: um de 64 cm e outro de 36 cm. Nosso objetivo aqui é calcular o perímetro desse retângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria sobre retângulos, diagonais e propriedades de triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o retângulo. Imagine um retângulo ABCD, onde AB e CD são os lados maiores, e AD e BC são os lados menores. A diagonal que vamos considerar é a AC. Quando traçamos uma perpendicular do vértice D até a diagonal AC, ela encontra a diagonal no ponto E, dividindo AC em dois segmentos: AE = 64 cm e EC = 36 cm.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa (nesse caso, a perpendicular DE) tem uma propriedade especial: ela divide a hipotenusa em segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes. Ou seja, se temos AE e EC, podemos relacionar com os lados do retângulo.

Passo 4

Vamos chamar os lados do retângulo de AD = a e AB = b. A diagonal AC, então, tem comprimento dado pela fórmula do teorema de Pitágoras:
AC = raiza^2 + b^2
Também sabemos que a área do retângulo pode ser calculada de duas formas: multiplicando os lados e multiplicando a diagonal pela altura (perpendicular) dividida por 2. Igualando essas duas expressões, podemos encontrar uma relação entre a e b.

Passo 5

Mas há uma maneira mais direta usando as propriedades dos triângulos. A relação que vamos usar é:
a^2 = AE times AC
b^2 = EC times AC
Substituindo os valores que temos:
a^2 = 64 times (64 + 36) = 64 times 100 = 6400 implies a = 80 cm
b^2 = 36 times 100 = 3600 implies b = 60 cm

Passo 6

Agora que temos os lados do retângulo, podemos calcular o perímetro, que é a soma de todos os lados:
Perímetro = 2a + 2b = 2 times 80 + 2 times 60 = 160 + 120 = 280 cm í

Resposta

O perímetro do retângulo é 280 cm.

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