Um retângulo tem área 80 cm² e perímetro 42 cm. Sabendo que a altura do retângulo é maior que a base, determine a medida da altura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um retângulo com área de 80 cm² e perímetro de 42 cm. A altura é maior que a base, e precisamos descobrir qual é essa altura. Vamos usar um pouco de matemática básica aqui, como fórmulas de área e perímetro de retângulo, e resolver uma equação quadrática no processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que a gente precisa:
  • Área do retângulo: Área = base × altura (A = b × h)
  • Perímetro do retângulo: Perímetro = 2 × (base + altura) (P = 2(b + h))

Passo 3

Sabemos que a área é 80 cm², então:
b times h = 80
E o perímetro é 42 cm, então:
2(b + h) = 42
Vamos simplificar essa equação do perímetro dividindo ambos os lados por 2:
b + h = 21
Agora, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar a base (b):
b = 21 - h

Passo 4

Agora que temos b em termos de h, vamos substituir essa expressão na equação da área:
(21 - h) times h = 80
Isso vira uma equação quadrática quando a gente distribui:
21h - h^2 = 80
Vamos arrumar tudo para formar a equação padrão da segunda grau:
h^2 - 21h + 80 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro, identificamos os coeficientes:
a = 1
b = -21
c = 80
A fórmula de Bhaskara é:
h = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
h = -(-21) pm raiz(-21)^2 - 4 times 1 times 802 times 1
h = 21 pm raiz441 - 3202
h = 21 pm raiz1212
h = 21 pm 112

Passo 6

Vamos calcular as duas soluções possíveis:
  1. h = 21 + 112 = 322 = 16
  2. h = 21 - 112 = 102 = 5
    Como a altura é maior que a base, descartamos h = 5 e ficamos com h = 16 cm.

Resposta

A altura do retângulo é 16 cm.

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