Se é a densidade de um fio que possui o formato de uma curva parametrizada por , calcule a massa do fio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio com uma densidade que varia conforme a posição, dada por . O fio está formado por uma curva que é descrita por uma função paramétrica , onde varia de 1 a 3. Nosso objetivo aqui é calcular a massa desse fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a massa de um fio ao longo de uma curva parametrizada, usamos a fórmula da integral de linha:
Aqui, é a densidade avaliada na posição , e é o módulo do vetor derivada da parametrização, que representa o elemento de comprimento do fio.
Passo 3
Vamos calcular . Substituímos e da função de densidade pelas componentes de :
Vamos expandir isso:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Passo 5
Em seguida, calculamos o módulo de :
Passo 6
Agora, temos tudo para montar a integral da massa:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então geralmente resolveríamos numericamente ou usando uma aproximação, mas para fins deste exercício, vamos apenas deixar a expressão montada.
Resposta
A massa do fio é dada pela integral:
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Calcule , onde é uma curva com parametrização .
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O comprimento da diagonal
Se é o vetor força, calcule o trabalho realizado por ao longo de uma trajetória parametrizada por .
Mostre que o campo vetorial
é conservativo. Calcule para a curva dada por .