Se é a densidade de um fio que possui o formato de uma curva parametrizada por , calcule a massa do fio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio com uma densidade que varia conforme a posição, dada por . O fio está formado por uma curva que é descrita por uma função paramétrica , onde varia de 1 a 3. Nosso objetivo aqui é calcular a massa desse fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a massa de um fio ao longo de uma curva parametrizada, usamos a fórmula da integral de linha: Aqui, é a densidade avaliada na posição , e é o módulo do vetor derivada da parametrização, que representa o elemento de comprimento do fio.

Passo 3

Vamos calcular . Substituímos e da função de densidade pelas componentes de : Vamos expandir isso: Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, calculamos o módulo de :

Passo 6

Agora, temos tudo para montar a integral da massa: Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então geralmente resolveríamos numericamente ou usando uma aproximação, mas para fins deste exercício, vamos apenas deixar a expressão montada.

Resposta

A massa do fio é dada pela integral:

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