O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são
e
,
e
estão aumentando em uma taxa de
enquanto
está decrescendo em uma taxa de
. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
O comprimento da diagonal
O comprimento da diagonal
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa com comprimento (
), largura (
) e altura (
) que estão mudando ao longo do tempo. No instante que estamos analisando:
-
-
- As taxas de variação são:
, e
Queremos descobrir a taxa de variação do comprimento da diagonal da caixa nesse momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a diagonal (
) de uma caixa retangular. A fórmula é baseada no teorema de Pitágoras em três dimensões:
Isso nos dá o comprimento da diagonal em função das dimensões da caixa.
Passo 3
Para encontrar a taxa de variação da diagonal em relação ao tempo (
), vamos derivar a fórmula da diagonal em relação ao tempo. Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
no instante dado:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da derivada:
Resposta
A taxa de variação do comprimento da diagonal nesse instante é
; ou seja, a diagonal não está mudando naquele momento.