O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1 e w = h = 2 m, l e w estão aumentando em uma taxa de 2 m/s enquanto h está decrescendo em uma taxa de 3 m/s. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
O comprimento da diagonal

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa com comprimento ( l), largura ( w) e altura ( h) que estão mudando ao longo do tempo. No instante que estamos analisando:
  • As taxas de variação são: , e
Queremos descobrir a taxa de variação do comprimento da diagonal da caixa nesse momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a diagonal ( D) de uma caixa retangular. A fórmula é baseada no teorema de Pitágoras em três dimensões:
Isso nos dá o comprimento da diagonal em função das dimensões da caixa.

Passo 3

Para encontrar a taxa de variação da diagonal em relação ao tempo ( ), vamos derivar a fórmula da diagonal em relação ao tempo. Aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular D no instante dado:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da derivada:

Resposta

A taxa de variação do comprimento da diagonal nesse instante é ; ou seja, a diagonal não está mudando naquele momento.

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