em que
é a densidade de energia em função de
. Demonstre que
Dica: lembre que
e portanto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a densidade de energia total,
, que é a integral da densidade de energia em função do comprimento de onda,
, ou em função da frequência,
. O objetivo aqui é demonstrar uma fórmula específica para
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física como a relação entre comprimento de onda e frequência, e a transformação de variáveis em integrais.
Passo 2
Primeiro, lembramos que comprimento de onda (
) e frequência (
) estão relacionadas pela equação
, onde
é a velocidade da luz. Isso implica que
. Essa relação vai ser útil para mudar a variável de integração de
para
.
Passo 3
Sabemos que a densidade de energia em função do comprimento de onda é dada por:
onde
é a constante de Planck,
é a constante de Boltzmann, e
é a temperatura.
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Para isso, usamos a relação
. Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 5
Agora precisamos transformar a integral em termos de frequência. A relação entre as diferentes variáveis de integração envolve o diferencial. Sabemos que:
Como estamos integrando de
a
, o sinal negativo pode ser ignorado, então:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão original para
, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Comparando com a definição dada de
:
Podemos identificar que:
Resposta
Portanto, mostramos que: