rhoT=integral0^infty rhoT(lambda) d lambda=integral0^infty rhoT^*(nu) d nu
em que rhoT^*(nu) é a densidade de energia em função de nu. Demonstre que
rhoT^*(nu)=8 pi h nu^3c^3 1e^h c / lambda k T-1
Dica: lembre que lambda nu=c e portanto d nu neq d lambda.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a densidade de energia total, rhoT, que é a integral da densidade de energia em função do comprimento de onda, rhoT(lambda), ou em função da frequência, rhoT^*(nu). O objetivo aqui é demonstrar uma fórmula específica para rhoT^*(nu). Para isso, vamos precisar usar conceitos de física como a relação entre comprimento de onda e frequência, e a transformação de variáveis em integrais.

Passo 2

Primeiro, lembramos que comprimento de onda ( lambda) e frequência ( nu) estão relacionadas pela equação lambda nu = c, onde c é a velocidade da luz. Isso implica que lambda = cnu. Essa relação vai ser útil para mudar a variável de integração de lambda para nu.

Passo 3

Sabemos que a densidade de energia em função do comprimento de onda é dada por:
rhoT(lambda) = 8 pi h clambda^5 1e^h clambda k T - 1
onde h é a constante de Planck, k é a constante de Boltzmann, e T é a temperatura.

Passo 4

Queremos expressar rhoT^*(nu) em termos de nu. Para isso, usamos a relação lambda = cnu. Substituindo lambda na expressão de rhoT(lambda), temos:
rhoT(lambda) = 8 pi h c(cnu)^5 1e^h ccnu k T - 1 = 8 pi h nu^5c^4 1e^h nuk T - 1

Passo 5

Agora precisamos transformar a integral em termos de frequência. A relação entre as diferentes variáveis de integração envolve o diferencial. Sabemos que:
dlambda = -cnu^2 dnu
Como estamos integrando de 0 a infty, o sinal negativo pode ser ignorado, então:
dlambda = cnu^2 dnu

Passo 6

Substituindo rhoT(lambda) e dlambda na expressão original para rhoT, temos:
rhoT = integral0^infty rhoT(lambda) dlambda = integral0^infty 8 pi h nu^5c^4 1e^h nuk T - 1 cdot cnu^2 dnu

Passo 7

Simplificando a expressão:
rhoT = integral0^infty 8 pi h nu^3c^3 1e^h nuk T - 1 dnu

Passo 8

Comparando com a definição dada de rhoT^*(nu):
rhoT = integral0^infty rhoT^*(nu) dnu
Podemos identificar que:
rhoT^*(nu) = 8 pi h nu^3c^3 1e^h nuk T - 1

Resposta

Portanto, mostramos que:
rhoT^*(nu) = 8 pi h nu^3c^3 1e^h nuk T - 1

Exercícios relacionados