em que
é a densidade de energia em função de
. Demonstre que
Dica: lembre que
e portanto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a densidade de energia total,
, que é a integral da densidade de energia em função do comprimento de onda,
, ou em função da frequência,
. O objetivo aqui é demonstrar uma fórmula específica para
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física como a relação entre comprimento de onda e frequência, e a transformação de variáveis em integrais.
Passo 2
Primeiro, lembramos que comprimento de onda (
) e frequência (
) estão relacionadas pela equação
, onde
é a velocidade da luz. Isso implica que
. Essa relação vai ser útil para mudar a variável de integração de
para
.
Passo 3
Sabemos que a densidade de energia em função do comprimento de onda é dada por:
onde
é a constante de Planck,
é a constante de Boltzmann, e
é a temperatura.
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Para isso, usamos a relação
. Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 5
Agora precisamos transformar a integral em termos de frequência. A relação entre as diferentes variáveis de integração envolve o diferencial. Sabemos que:
Como estamos integrando de
a
, o sinal negativo pode ser ignorado, então:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão original para
, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Comparando com a definição dada de
:
Podemos identificar que:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Seja o campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga em um meio livre de perdas de acordo com uma função senoidal. Esta onda está polarizada no eixo
e se propaga na direção z. O campo elétrico tem magnitude igual à
e o meio tem impedância intrínseca igual à 50 Ohms . Assinale V para verdadeiro ou
para falso nas afirmativas a seguir:
( ) A constante de atenuação será igual à zero.
( ) O campo magnético se propaga polarizado no eixo z.
( ) A magnitude do campo magnético será igual à .
( ) A razão entre a permeabilidade e permissividade deste meio será igual à 1.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta na ordem apresentada:
( ) A constante de atenuação será igual à zero.
( ) O campo magnético se propaga polarizado no eixo z.
( ) A magnitude do campo magnético será igual à
( ) A razão entre a permeabilidade e permissividade deste meio será igual à 1.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta na ordem apresentada:
Alternativas:
a)
.
b) .
c) . Alternativa assinalada
d) .
e) .
b)
c)
d)
e)
Conforme sua natureza as ondas são classificadas em: Ondas Mecânicas e Ondas Eletromagnéticas.
Sobre a propagação das ondas eletromagnéticas em meios sem perdas, considere as seguintes afirmativas a seguir:
I - O espaço livre é um meio sem perdas, livre de cargas, o que significa dizer que a condutividade é nula.
II - Para um meio livre de perdas, não haverá atenuação da onda, sendo esperado que a constante de atenuação seja igual a zero.
III - A velocidade de propagação de uma onda eletromagnética em um meio sem perdas independe da velocidade da luz.
É correto o que se afirma apenas em:
Sobre a propagação das ondas eletromagnéticas em meios sem perdas, considere as seguintes afirmativas a seguir:
I - O espaço livre é um meio sem perdas, livre de cargas, o que significa dizer que a condutividade é nula.
II - Para um meio livre de perdas, não haverá atenuação da onda, sendo esperado que a constante de atenuação seja igual a zero.
III - A velocidade de propagação de uma onda eletromagnética em um meio sem perdas independe da velocidade da luz.
É correto o que se afirma apenas em:
Alternativas:
a) I apenas está correta.
b) Il apenas está correta.
c) III apenas está correta.
d) I e ll estão corretas apenas.
Alternativa assinalada
e) II e III estão corretas apenas.
b) Il apenas está correta.
c) III apenas está correta.
d) I e ll estão corretas apenas.
Alternativa assinalada
e) II e III estão corretas apenas.
Duas partículas de mesma carga são colocadas a
de distância uma da outra e liberadas a partir do repouso. A aceleração inicial da primeira partícula é
e a da segunda é
. Se a massa da primeira partícula é de
.
, determine o módulo da carga das partículas.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Três partículas são mantidas fixas em um eixo Xx. A partícula 1, de carga
, está em
a partícula 2, está em
. Determine a razão
para que a força eletrostática a que está submetida a partícula 3 seja nula se a partícula 3 estiver no ponto
.
a.
5
b.
c.
d.
125125
a.
5
b.
c.
d.
125125