em que é a densidade de energia em função de . Demonstre que
Dica: lembre que e portanto .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a densidade de energia total, , que é a integral da densidade de energia em função do comprimento de onda, , ou em função da frequência, . O objetivo aqui é demonstrar uma fórmula específica para . Para isso, vamos precisar usar conceitos de física como a relação entre comprimento de onda e frequência, e a transformação de variáveis em integrais.

Passo 2

Primeiro, lembramos que comprimento de onda ( ) e frequência ( ) estão relacionadas pela equação , onde é a velocidade da luz. Isso implica que . Essa relação vai ser útil para mudar a variável de integração de para .

Passo 3

Sabemos que a densidade de energia em função do comprimento de onda é dada por:
onde é a constante de Planck, é a constante de Boltzmann, e é a temperatura.

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Para isso, usamos a relação . Substituindo na expressão de , temos:

Passo 5

Agora precisamos transformar a integral em termos de frequência. A relação entre as diferentes variáveis de integração envolve o diferencial. Sabemos que:
Como estamos integrando de a , o sinal negativo pode ser ignorado, então:

Passo 6

Substituindo e na expressão original para , temos:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Comparando com a definição dada de :
Podemos identificar que:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Seja o campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga em um meio livre de perdas de acordo com uma função senoidal. Esta onda está polarizada no eixo e se propaga na direção z. O campo elétrico tem magnitude igual à e o meio tem impedância intrínseca igual à 50 Ohms . Assinale V para verdadeiro ou para falso nas afirmativas a seguir:
( ) A constante de atenuação será igual à zero.
( ) O campo magnético se propaga polarizado no eixo z.
( ) A magnitude do campo magnético será igual à .
( ) A razão entre a permeabilidade e permissividade deste meio será igual à 1.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta na ordem apresentada:

Alternativas:

a) .
b) .
c) . Alternativa assinalada
d) .
e) .
Conforme sua natureza as ondas são classificadas em: Ondas Mecânicas e Ondas Eletromagnéticas.
Sobre a propagação das ondas eletromagnéticas em meios sem perdas, considere as seguintes afirmativas a seguir:
I - O espaço livre é um meio sem perdas, livre de cargas, o que significa dizer que a condutividade é nula.
II - Para um meio livre de perdas, não haverá atenuação da onda, sendo esperado que a constante de atenuação seja igual a zero.
III - A velocidade de propagação de uma onda eletromagnética em um meio sem perdas independe da velocidade da luz.
É correto o que se afirma apenas em:

Alternativas:

a) I apenas está correta.
b) Il apenas está correta.
c) III apenas está correta.
d) I e ll estão corretas apenas.
Alternativa assinalada
e) II e III estão corretas apenas.
Duas partículas de mesma carga são colocadas a de distância uma da outra e liberadas a partir do repouso. A aceleração inicial da primeira partícula é e a da segunda é . Se a massa da primeira partícula é de . , determine o módulo da carga das partículas.
a.

b.

c.

d.
Três partículas são mantidas fixas em um eixo Xx. A partícula 1, de carga , está em a partícula 2, está em . Determine a razão para que a força eletrostática a que está submetida a partícula 3 seja nula se a partícula 3 estiver no ponto .
a.
5
b.

c.

d.
125125