Um rifle, cuja velocidade de disparo é de 450 m / s, é usado para atirar em um alvo a 45 m de distância, situado à mesma altura do cano da arma. Para que posição acima do alvo, na vertical, o rifle deverá ser apontado de modo que a bala o atinja ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um rifle que dispara uma bala com velocidade de em direção a um alvo que está a 45 metros de distância e na mesma altura do cano da arma. A matéria envolvida aqui é movimento de projéteis, que estuda como objetos se movem no ar levando em conta a gravidade. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento horizontal e vertical dos projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o movimento da bala em duas partes: horizontal e vertical.
  • Movimento Horizontal: A bala se move com velocidade constante porque não tem aceleração horizontal (considerando o ar sem resistência). A distância horizontal ( d = v cos(theta) cdot t ) é dada por:
    h = v sin(theta) cdot t - 12 g t^2
    Onde:
    • é a velocidade inicial da bala.
    • é o ângulo de tiro em relação à horizontal.
    • é o tempo de voo da bala.
  • Movimento Vertical: A bala é influenciada pela gravidade, então a posição vertical ( ) é dada por:
    Onde:
    • é a aceleração da gravidade.
    • Os outros termos são os mesmos do movimento horizontal.
Como o alvo está na mesma altura de onde a bala foi disparada, a altura final será zero ( ).

Passo 3

Vamos resolver a equação vertical para encontrar o tempo de voo ( 0 = v sin(theta) cdot t - 12 g t^2 ):
t (v sin(theta) - 12 g t) = 0
Podemos fatorar t = 2 v sin(theta)g :
Isso nos dá duas soluções:
  1. (o instante do disparo)
Desconsiderando , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir o valor de d = v cos(theta) cdot 2 v sin(theta)g na equação horizontal:
d = 2 v^2 sin(theta) cos(theta)g
Simplificando:
d = v^2 sin(2theta)g
Lembre-se que , então:

Passo 5

Vamos isolar sin(2theta) = d gv^2 :
sin(2theta) = 45 times 9,8450^2 = 441202500 approx 0,00218
Substituindo os valores fornecidos:
2theta = arcsin(0,00218) approx 0,125^circ
Agora, encontramos theta approx 0,0625^circ :
Dividindo por 2 para achar :

Resposta

O rifle deve ser apontado aproximadamente acima da horizontal para que a bala atinja o alvo a 45 metros de distância.

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