A taxa marginal de substituição técnica é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma, que diz quantas unidades de um tipo de insumo se pode reduzir/aumentar com o aumento/redução de uma única unidade de outro tipo de insumo de modo que a produção da firma permaneça constante. O caso de taxa marginal de substituição técnica mais usado é o de capital K por trabalho L, denotada por TMST L, K, que indica a quantidade de capital que se pode reduzir/aumentar quando se usa uma unidade a mais/menos de trabalho de modo que a produção permaneça constante. Sendo P(K, L) a função produção, mostra-se que TMST(L, K) P_L / P_K.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está falando. Estamos lidando com Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST), que é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma. A TMST nos mostra quantas unidades de um insumo (como capital ou trabalho) podemos trocar por outra unidade de um outro insumo, mantendo a produção constante.
Para resolvermos isso, vamos precisar entender a função de produção , que relaciona a quantidade de capital e de trabalho utilizados para produzir uma certa quantidade de produto. Além disso, vamos usar as derivadas parciais dessa função em relação a e , que representam as margens de produto desses insumos.

Passo 2

Vamos começar definindo a Função de Produção . Essa função nos diz quanto de produto a firma consegue produzir usando uma certa quantidade de capital e trabalho . Por exemplo, se , isso significa que a produção depende dessas duas variáveis de forma específica.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que são as Derivadas Parciais e .
  • é a derivada da função de produção em relação ao trabalho . Ela nos mostra quanto a produção aumenta se aumentarmos o trabalho em uma unidade, mantendo o capital constante. Isso é chamado de Produto Marginal do Trabalho (MPL).
  • é a derivada da função de produção em relação ao capital . Similarmente, ela indica quanto a produção aumenta se aumentarmos o capital em uma unidade, mantendo o trabalho constante. Isso é o Produto Marginal do Capital (MPK).

Passo 4

A Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST) é a razão entre o Produto Marginal do Trabalho e o Produto Marginal do Capital. Matematicamente, isso fica:
O que isso significa é que a TMST nos diz quantas unidades de capital podemos substituir por uma unidade adicional de trabalho sem que a produção mude. Se a TMST for alta, significa que o trabalho está substituindo muito o capital, e vice-versa.

Passo 5

Para ilustrar, vamos assumir uma função de produção específica. Suponha que:
Calculamos as derivadas parciais:
Agora, substituímos na fórmula da TMST:

Resposta

A Taxa Marginal de Substituição Técnica é dada por:
No exemplo específico, calculamos que:

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