Uma roda-gigante com raio r gira livremente ao redor de seu eixo com uma velocidade angular omega i. Uma cadeira em sua extremidade se move com uma velocidade escalar 2v. De repente, a roda-gigante desacelera de modo que a cadeira passa a se mover com uma velocidade escalar v. A velocidade angular final é omega f. Como se dá a variação da velocidade angular da roda-gigante?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma roda-gigante com raio $ r $ que está girando livremente com uma velocidade angular inicial $ \omega_i $. Uma cadeira na extremidade da roda está se movendo com uma velocidade escalar de $ 2v $. De repente, a roda desacelera e a velocidade da cadeira cai para $ v $, resultando em uma nova velocidade angular $ \omega_f $. Nosso objetivo aqui é entender como a velocidade angular da roda-gigante mudou, ou seja, encontrar a variação entre $ \omega_i $ e $ \omega_f $. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de velocidade angular e velocidade linear, e como elas estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a velocidade linear ($ v v áà \omega $) em um movimento circular. A fórmula que liga essas duas é:
omega
Onde:
  • $ v $ é a velocidade linear da cadeira na extremidade da roda.
  • $ r $ é o raio da roda-gigante.
  • $ \omega $ é a velocidade angular da roda.
Essa fórmula nos diz que a velocidade linear é igual ao produto do raio pela velocidade angular.

Passo 3

Agora, vamos usar essa relação para encontrar a velocidade angular inicial $ \omega_i $. Sabemos que inicialmente a velocidade linear da cadeira é $ 2v $, então podemos escrever:
omegai
Para encontrar $ \omega_i $, basta isolar essa variável na equação:
2v

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o momento em que a roda-gigante desacelera e a velocidade linear da cadeira passa a ser $ v $. Usando a mesma relação entre velocidade linear e angular:
v
Isolando $ \omega_f $:
v = r cdot omegaf

Passo 5

Agora, queremos entender como a velocidade angular mudou, ou seja, comparar $ \omega_f $ com $ \omega_i $. Usando as expressões que encontramos:
omegaf
Podemos ver que:
omegai
Isso significa que a velocidade angular final é metade da velocidade angular inicial.

Resposta

A velocidade angular da roda-gigante diminuiu para metade do seu valor inicial, ou seja, $ \omega_f = \frac{\omega_i}{2} $.

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