Uma roda-gigante com raio
gira livremente ao redor de seu eixo com uma velocidade angular
. Uma cadeira em sua extremidade se move com uma velocidade escalar
. De repente, a roda-gigante desacelera de modo que a cadeira passa a se mover com uma velocidade escalar
. A velocidade angular final é
. Como se dá a variação da velocidade angular da roda-gigante?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma roda-gigante com raio $ r $ que está girando livremente com uma velocidade angular inicial $ \omega_i $. Uma cadeira na extremidade da roda está se movendo com uma velocidade escalar de $ 2v $. De repente, a roda desacelera e a velocidade da cadeira cai para $ v $, resultando em uma nova velocidade angular $ \omega_f $. Nosso objetivo aqui é entender como a velocidade angular da roda-gigante mudou, ou seja, encontrar a variação entre $ \omega_i $ e $ \omega_f $. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de velocidade angular e velocidade linear, e como elas estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a velocidade linear ($ v
\omega $) em um movimento circular. A fórmula que liga essas duas é:
Onde:
- $ v $ é a velocidade linear da cadeira na extremidade da roda.
- $ r $ é o raio da roda-gigante.
- $ \omega $ é a velocidade angular da roda.
Essa fórmula nos diz que a velocidade linear é igual ao produto do raio pela velocidade angular.
Passo 3
Agora, vamos usar essa relação para encontrar a velocidade angular inicial $ \omega_i $. Sabemos que inicialmente a velocidade linear da cadeira é $ 2v $, então podemos escrever:
Para encontrar $ \omega_i $, basta isolar essa variável na equação:
Passo 4
Em seguida, vamos analisar o momento em que a roda-gigante desacelera e a velocidade linear da cadeira passa a ser $ v $. Usando a mesma relação entre velocidade linear e angular:
Isolando $ \omega_f $:
Passo 5
Agora, queremos entender como a velocidade angular mudou, ou seja, comparar $ \omega_f $ com $ \omega_i $. Usando as expressões que encontramos:
Podemos ver que:
Isso significa que a velocidade angular final é metade da velocidade angular inicial.
Resposta
A velocidade angular da roda-gigante diminuiu para metade do seu valor inicial, ou seja, $ \omega_f = \frac{\omega_i}{2} $.