Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde
e
são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio
localizado no plano
(paralelo ao plano
), com centro no eixo
;
de um círculo de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o fluxo de uma corrente elétrica através de um círculo no espaço. A densidade de corrente
está dada em coordenadas cilíndricas e precisamos encontrar o fluxo dessa corrente através de um círculo de raio
no plano
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo de corrente. O fluxo
de uma corrente elétrica através de uma superfície é dado pela integral da densidade de corrente
projetada na direção normal à superfície, ou seja:
Aqui,
é o vetor normal à superfície, e
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
No nosso caso, a superfície é um círculo localizado no plano
, então o vetor normal
é simplesmente
, a direção do eixo
. Assim, a fórmula do fluxo fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar a densidade de corrente
. Ela é dada por:
Isso significa que a corrente está na direção
e tem magnitude
para
, e é zero para
.
Passo 5
Como o raio do nosso círculo
é maior que
(
), a corrente
só é diferente de zero dentro de
. Portanto, podemos restringir nossa integral à área onde
.
Passo 6
Vamos configurar a integral em coordenadas cilíndricas. O elemento de área
em coordenadas cilíndricas é dado por
, onde
varia de
a
e
varia de
a
.
Então, a expressão do fluxo fica:
Passo 7
Simplificando a integral, observamos que
no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 8
Resolvendo a integral interna sobre
:
Então, temos:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral sobre
:
Portanto:
Resposta
O fluxo da corrente através do círculo é
.