Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
J=z J0 R / rho, & para rho <= R 0, & para rho>R
onde rho e varphi são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio a>R localizado no plano z=z0 (paralelo ao plano x y ), com centro no eixo z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o fluxo de uma corrente elétrica através de um círculo no espaço. A densidade de corrente está dada em coordenadas cilíndricas e precisamos encontrar o fluxo dessa corrente através de um círculo de raio no plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo de corrente. O fluxo Phi = integral J cdot n , dS de uma corrente elétrica através de uma superfície é dado pela integral da densidade de corrente projetada na direção normal à superfície, ou seja:
Aqui, é o vetor normal à superfície, e é um elemento de área da superfície.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é um círculo localizado no plano Phi = integral J cdot z , dS , então o vetor normal é simplesmente , a direção do eixo . Assim, a fórmula do fluxo fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar a densidade de corrente J = z J0 Rrho, & para rho <= R 0, & para rho > R . Ela é dada por:
Isso significa que a corrente está na direção e tem magnitude para , e é zero para .

Passo 5

Como o raio do nosso círculo é maior que ( ), a corrente só é diferente de zero dentro de . Portanto, podemos restringir nossa integral à área onde .

Passo 6

Vamos configurar a integral em coordenadas cilíndricas. O elemento de área Phi = integral0^R integral0^2pi ( J0 Rrho ) cdot rho , dvarphi , drho em coordenadas cilíndricas é dado por , onde varia de a e varia de a .
Então, a expressão do fluxo fica:

Passo 7

Simplificando a integral, observamos que Phi = J0 R integral0^R integral0^2pi dvarphi , drho no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 8

Resolvendo a integral interna sobre integral0^2pi dvarphi = 2pi :
Phi = J0 R cdot 2pi integral0^R drho
Então, temos:

Passo 9

Agora, resolvemos a integral sobre integral0^R drho = R :
Phi = J0 R cdot 2pi cdot R = 2pi J0 R^2
Portanto:

Resposta

O fluxo da corrente através do círculo é .

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