Considere um anel de raio uniformemente carregado com carga . Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o anel esteja no plano e a origem coincida com o centro do anel.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco uniformemente carregado com carga total e raio . A gente quer descobrir qual é o campo eletrostático que esse disco gera em qualquer ponto ao longo do seu eixo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o princípio da superposição e integração de campos devido a elementos de carga.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb. Mas aqui, temos um disco inteiro, então precisamos considerar o campo devido a infinitas pequenas cargas espalhadas pelo disco. A ideia é dividir o disco em anéis infinitamente finos e calcular o campo de cada anel no ponto de interesse.
Passo 3
Vamos considerar um anel de raio e espessura no disco. A carga desse anel, , pode ser expressa em termos da densidade superficial de carga . Como o disco é uniformemente carregado:
Então, a carga do anel é:
Passo 4
O campo elétrico no ponto ao longo do eixo devido a esse anel é:
Aqui, é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo.
Passo 5
Substituindo na expressão do campo:
Passo 6
Para obter o campo total , integramos de até :
Simplificando:
Passo 7
Para resolver a integral, fazemos uma substituição:
Quando , ; quando , . Então a integral fica:
Calculando:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do campo:
Resposta
O campo eletrostático no ponto ao longo do eixo é dado por: