Considere um anel de raio a uniformemente carregado com carga Q. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o anel esteja no plano O X Y e a origem coincida com o centro do anel.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco uniformemente carregado com carga total Q e raio a. A gente quer descobrir qual é o campo eletrostático que esse disco gera em qualquer ponto ao longo do seu eixo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o princípio da superposição e integração de campos devido a elementos de carga.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb. Mas aqui, temos um disco inteiro, então precisamos considerar o campo devido a infinitas pequenas cargas espalhadas pelo disco. A ideia é dividir o disco em anéis infinitamente finos e calcular o campo de cada anel no ponto de interesse.

Passo 3

Vamos considerar um anel de raio r e espessura dr no disco. A carga desse anel, dQ, pode ser expressa em termos da densidade superficial de carga sigma. Como o disco é uniformemente carregado:
sigma = Qpi a^2
Então, a carga do anel é:
dQ = sigma cdot 2pi r , dr = Qpi a^2 cdot 2pi r , dr = 2Qra^2 , dr

Passo 4

O campo elétrico no ponto ao longo do eixo devido a esse anel é:
dE = 14pi varepsilon0 cdot dQ cdot z(z^2 + r^2)^3/2
Aqui, z é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo.

Passo 5

Substituindo dQ na expressão do campo:
dE = 14pi varepsilon0 cdot 2Qr , za^2 (z^2 + r^2)^3/2 , dr

Passo 6

Para obter o campo total E, integramos dE de r = 0 até r = a:
E = integral0^a 14pi varepsilon0 cdot 2Qr , za^2 (z^2 + r^2)^3/2 , dr
Simplificando:
E = Qz2pi varepsilon0 a^2 integral0^a r(z^2 + r^2)^3/2 , dr

Passo 7

Para resolver a integral, fazemos uma substituição:
u = z^2 + r^2 Rightarrow du = 2r , dr Rightarrow du2 = r , dr
Quando r = 0, u = z^2; quando r = a, u = z^2 + a^2. Então a integral fica:
integralz^2^z^2 + a^2 12 u^-3/2 , du = 12 [ -2u^-1/2 ]z^2^z^2 + a^2 = -u^-1/2 |z^2^z^2 + a^2
Calculando:
- ( 1raizz^2 + a^2 - 1raizz^2 ) = 1z - 1raizz^2 + a^2

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do campo:
E = Qz2pi varepsilon0 a^2 ( 1z - 1raizz^2 + a^2 ) = Q2pi varepsilon0 a^2 ( 1 - zraizz^2 + a^2 )

Resposta

O campo eletrostático no ponto ao longo do eixo é dado por:
E = Q2pi varepsilon0 a^2 ( 1 - zraizz^2 + a^2 )

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