S=(250 W / m^2) cos ^2(20 x / m-6,0 times 10^9 t / s) i
Calcule o comprimento de onda, a frequência e a forma como o campo magnético evolui no espaço e no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão para o vetor de Poynting S, que nos dá informações sobre a energia transportada por uma onda eletromagnética. A matéria aqui envolve ondas eletromagnéticas, e para resolver o exercício, vamos precisar entender como extrair o comprimento de onda, a frequência e como o campo magnético varia no espaço e no tempo a partir da expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão do vetor de Poynting que foi fornecida:
S = (250 , W/m^2) cos^2(20 , x/m - 6,0 times 10^9 , t/s) i
Aqui, a função cosseno ao quadrado indica que a intensidade da onda está variando no espaço e no tempo. Os coeficientes dentro do cosseno representam, respectivamente, o número de onda ( k) e a frequência angular ( omega) da onda.

Passo 3

Vamos identificar o número de onda k e a frequência angular omega:
  • Número de onda k = 20 , m^-1
  • Frequência angular omega = 6,0 times 10^9 , s^-1
O número de onda está relacionado ao comprimento de onda lambda pela fórmula:
k = 2pilambda
E a frequência angular está relacionada à frequência f pela fórmula:
omega = 2pi f

Passo 4

Vamos agora calcular o comprimento de onda lambda usando o número de onda k:
lambda = 2pik = 2pi20 , m^-1 = pi10 , m approx 0,314 , m
Então, o comprimento de onda é aproximadamente 0,314 metros.

Passo 5

Agora, vamos calcular a frequência f usando a frequência angular omega:
f = omega2pi = 6,0 times 10^9 , s^-12pi approx 9,55 times 10^8 , Hz
Portanto, a frequência da onda é aproximadamente 9,55 times 10^8 , Hz.

Passo 6

Para determinar como o campo magnético B evolui no espaço e no tempo, precisamos lembrar que, em uma onda eletromagnética plana, os campos elétrico E e magnético B estão relacionados e oscilam perpendicularmente entre si e à direção de propagação.
Sabemos que o vetor de Poynting S está na direção da propagação e é dado por:
S = 1mu0 E times B
Considerando que a onda está se propagando na direção i e que a expressão de S contém um cosseno ao quadrado, podemos concluir que o campo magnético também varia no espaço e no tempo de forma semelhante ao campo elétrico, mas com uma defasagem de fase adequada.
Assim, a expressão geral para o campo magnético será proporcional a cos (20 , x/m - 6,0 times 10^9 , t/s) e terá uma amplitude relacionada à intensidade da onda.

Resposta

  • Comprimento de onda: aproximadamente 0,314 , m.
  • Frequência: aproximadamente 9,55 times 10^8 , Hz.
  • Evolução do campo magnético: o campo magnético varia no espaço e no tempo seguindo uma função cossenoidal da forma cos(20 , x/m - 6,0 times 10^9 , t/s), acompanhando a propagação da onda eletromagnética.

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