Sabe-se que uma dada variável
tem distribuição aproximadamente normal com variância
. Deseja-se estimar a média para sua distribuição.
Qual será a confiança da estimativa caso seja aceita uma margem de erro
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Qual será a confiança da estimativa caso seja aceita uma margem de erro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos fala que a variável $ X $ segue uma distribuição normal aproximadamente, com variância $ \sigma^{2} = 25 $. Queremos estimar a média dessa distribuição e descobrir qual é a confiança dessa estimativa quando aceitamos uma margem de erro $ \theta = 0,8 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “margem de erro”. A margem de erro ($ \theta $) nos diz o quão distante a nossa estimativa pode estar da média real. No caso, $ \theta = 0,8 $.
Passo 3
Sabemos que a variância $ \sigma^{2} = 25 $, então o desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada disso:
Passo 4
Para encontrar a confiança da estimativa, usamos a relação entre a margem de erro, o desvio padrão e o valor crítico $ z $ da distribuição normal. A fórmula é:
Queremos descobrir o valor de $ z $. Rearranjando a fórmula:
Passo 5
O valor $ z = 0,16 $ nos indica quantos desvios padrão estamos do centro da distribuição. Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse $ z $ para saber a confiança.
Passo 6
Usamos a tabela da distribuição normal padrão (tabela $ Z $) para encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre
e
. A probabilidade acumulada até $ Z = 0,16 $ é aproximadamente 0,5636.
Então:
Resposta
A confiança da estimativa é aproximadamente 12,7%.