Sabe-se que uma dada variável X tem distribuição aproximadamente normal com variância sigma^2=25. Deseja-se estimar a média para sua distribuição.
Qual será a confiança da estimativa caso seja aceita uma margem de erro theta=0,8?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos fala que a variável $ X $ segue uma distribuição normal aproximadamente, com variância $ \sigma^{2} = 25 $. Queremos estimar a média dessa distribuição e descobrir qual é a confiança dessa estimativa quando aceitamos uma margem de erro $ \theta = 0,8 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “margem de erro”. A margem de erro ($ \theta $) nos diz o quão distante a nossa estimativa pode estar da média real. No caso, $ \theta = 0,8 $.

Passo 3

Sabemos que a variância $ \sigma^{2} = 25 $, então o desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada disso:
sigma^2 = 25

Passo 4

Para encontrar a confiança da estimativa, usamos a relação entre a margem de erro, o desvio padrão e o valor crítico $ z $ da distribuição normal. A fórmula é:
z
Queremos descobrir o valor de $ z $. Rearranjando a fórmula:
theta = z times sigma

Passo 5

O valor $ z = 0,16 $ nos indica quantos desvios padrão estamos do centro da distribuição. Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse $ z $ para saber a confiança.

Passo 6

Usamos a tabela da distribuição normal padrão (tabela $ Z $) para encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre Z e Z . A probabilidade acumulada até $ Z = 0,16 $ é aproximadamente 0,5636.
Então:
-0,16

Resposta

A confiança da estimativa é aproximadamente 12,7%.

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