Sabe-se que uma dada variável
tem distribuição aproximadamente normal com variância
. Deseja-se estimar a média para sua distribuição.
Caso a inferência seja feita tomando uma amostra, qual seria o tamanho mínimo da amostra para se obter uma estimativa com margem de erro
e confiança não inferior a
?
Caso a inferência seja feita tomando uma amostra, qual seria o tamanho mínimo da amostra para se obter uma estimativa com margem de erro
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o tamanho mínimo da amostra necessária para estimar a média de uma variável
que segue uma distribuição aproximadamente normal com variância
. Queremos que nossa estimativa tenha uma margem de erro de
e um nível de confiança de pelo menos
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o tamanho da amostra para estimativa de média.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a margem de erro na estimativa da média quando a variância é conhecida. A fórmula é:
Aqui,
é a margem de erro,
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado,
é o desvio padrão da população, e
é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar essa variável na fórmula. Primeiro, rearranjamos a equação para:
Agora, precisamos encontrar o valor de
para um nível de confiança de
.
Passo 4
Para um nível de confiança de
, o valor de
é aproximadamente
. Esse valor corresponde aos pontos onde a área central sob a curva normal é de
, deixando
em cada cauda.
Passo 5
Sabemos que
, então o desvio padrão
é:
Agora, temos todos os valores necessários para calcular
:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o numerador:
Depois, dividimos pelo
:
Finalmente, elevamos ao quadrado:
Resposta
Portanto, o tamanho mínimo da amostra necessário é de 151 indivíduos (arredondando para cima).