Sabe-se que uma dada variável X tem distribuição aproximadamente normal com variância sigma^2=25. Deseja-se estimar a média para sua distribuição.
Caso a inferência seja feita tomando uma amostra, qual seria o tamanho mínimo da amostra para se obter uma estimativa com margem de erro theta=0,8 e confiança não inferior a 95 % ?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o tamanho mínimo da amostra necessária para estimar a média de uma variável X que segue uma distribuição aproximadamente normal com variância sigma^2 = 25. Queremos que nossa estimativa tenha uma margem de erro de theta = 0,8 e um nível de confiança de pelo menos 95%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o tamanho da amostra para estimativa de média.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a margem de erro na estimativa da média quando a variância é conhecida. A fórmula é:
theta = zalpha/2 cdot sigmaraizn
Aqui, theta é a margem de erro, zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado, sigma é o desvio padrão da população, e n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar n, então vamos isolar essa variável na fórmula. Primeiro, rearranjamos a equação para:
n = ( zalpha/2 cdot sigmatheta )^2
Agora, precisamos encontrar o valor de zalpha/2 para um nível de confiança de 95%.

Passo 4

Para um nível de confiança de 95%, o valor de zalpha/2 é aproximadamente 1,96. Esse valor corresponde aos pontos onde a área central sob a curva normal é de 95%, deixando 2,5% em cada cauda.

Passo 5

Sabemos que sigma^2 = 25, então o desvio padrão sigma é:
sigma = raiz25 = 5
Agora, temos todos os valores necessários para calcular n:
  • zalpha/2 = 1,96
  • sigma = 5
  • theta = 0,8

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula:
n = ( 1,96 cdot 50,8 )^2
Primeiro, calculamos o numerador:
1,96 cdot 5 = 9,8
Depois, dividimos pelo theta:
9,80,8 = 12,25
Finalmente, elevamos ao quadrado:
n = (12,25)^2 = 150,06

Resposta

Portanto, o tamanho mínimo da amostra necessário é de 151 indivíduos (arredondando para cima).

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