Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desvio padrão 15. Sabe-se que 15 % dos alunos mais adiantados recebem o grau A e 12% dos mais atrasados recebem grau F. Encontre o mínimo para se receber o grau A e o mínimo para não se receber o grau F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma prova com notas distribuídas normalmente, com média de 73 e desvio padrão de 15. Precisamos descobrir qual é a nota mínima para tirar um A (os 15% melhores) e a nota mínima para não tirar um F (evitar estar nos 12% mais baixos. Para isso, vamos usar a distribuição normal e a tabela Z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição normal. É uma curva que mostra como os dados estão distribuídos em torno da média. A média aqui é 73 e o desvio padrão é 15. O desvio padrão nos diz o quanto os dados variam em torno da média.

Passo 3

Para encontrar as notas que correspondem aos 15% mais altos e aos 12% mais baixos, vamos usar a Tabela Z, que nos ajuda a encontrar a posição relativa dessas porcentagens na distribuição normal.

Passo 4

Vamos começar encontrando o Z correspondente aos 15% mais altos. Como a tabela Z geralmente mostra a área à esquerda, para 15% mais altos, queremos encontrar o Z onde 85% estão à esquerda (100% - 15% = 85%). Procuramos na tabela Z o valor que mais se aproxima de 0,8500, que é aproximadamente 1,04.

Passo 5

Agora, vamos converter esse valor de Z para a nota correspondente usando a fórmula:
X = mu + Z times sigma
Onde:
  • X = 73 + 1,04 times 15 (média)
  • X = 73 + 15,6
  • X = 88,6 (desvio padrão)
Substituindo:
Então, a nota mínima para tirar um A é aproximadamente 88,6.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a nota mínima para não tirar um F, ou seja, evitar estar nos 12% mais baixos. Para isso, buscamos o Z que corresponde a 12% à esquerda. Olhando na tabela Z, encontramos que 0,12 está próximo de Z = -1,17.

Passo 7

Convertendo o Z para a nota correspondente:
X = mu + Z times sigma
X = 73 + (-1,17) times 15
X = 73 - 17,55
X = 55,45
Então, a nota mínima para não tirar um F é aproximadamente 55,45.

Resposta

A nota mínima para receber o grau A é 88,6, e a nota mínima para não receber o grau F é 55,45.

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