Sabe-se que os fluocarbonetos reduzem a concentração de ozônio na atmosfera superior. Suponha que cientistas cheguem à conclusão de que uma quantidade de ozônio na atmosfera é reduzida em a cada ano, de modo que após anos, a quantidade que resta é dada por:
na qual é a quantidade inicial de Ozônio
b) Quantos anos são necessários pra que a quantidade de ozônio se reduza à da quantidade inicial? Resp: 1072,96 anos

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que mostra como a quantidade de ozônio na atmosfera diminui ao longo do tempo devido aos fluocarbonetos. A matéria envolvida é o decaimento exponencial, que usamos para modelar processos onde a quantidade diminui a uma taxa proporcional ao que resta. Para resolver, precisamos usar a fórmula do decaimento exponencial e resolver para o tempo quando a quantidade de ozônio for 20% da quantidade inicial.

Passo 2

A equação dada é:
Aqui, é a quantidade de ozônio após anos, e é a quantidade inicial. Queremos encontrar quando for 20% de , ou seja, .

Passo 3

Vamos substituir por na equação:

Passo 4

Podemos dividir ambos os lados da equação por para simplificar:

Passo 5

Agora, para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 6

Sabemos que , então:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Calculando o valor de :

Passo 9

Substituindo na fórmula:

Resposta

Serão necessários aproximadamente 1072,96 anos para que a quantidade de ozônio se reduza a 20% da quantidade inicial.

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