Sabe-se que os fluocarbonetos reduzem a concentração de ozônio na atmosfera superior. Suponha que cientistas cheguem à conclusão de que uma quantidade
de ozônio na atmosfera é reduzida em
a cada ano, de modo que após
anos, a quantidade que resta é dada por:
na qual
é a quantidade inicial de Ozônio
b) Quantos anos são necessários pra que a quantidade de ozônio se reduza à
da quantidade inicial? Resp: 1072,96 anos
b) Quantos anos são necessários pra que a quantidade de ozônio se reduza à
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que mostra como a quantidade de ozônio na atmosfera diminui ao longo do tempo devido aos fluocarbonetos. A matéria envolvida é o decaimento exponencial, que usamos para modelar processos onde a quantidade diminui a uma taxa proporcional ao que resta. Para resolver, precisamos usar a fórmula do decaimento exponencial e resolver para o tempo
quando a quantidade de ozônio for 20% da quantidade inicial.
Passo 2
A equação dada é:
Aqui,
é a quantidade de ozônio após
anos, e
é a quantidade inicial. Queremos encontrar
quando
for 20% de
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos substituir
por
na equação:
Passo 4
Podemos dividir ambos os lados da equação por
para simplificar:
Passo 5
Agora, para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 6
Sabemos que
, então:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Calculando o valor de
:
Passo 9
Substituindo na fórmula:
Resposta
Serão necessários aproximadamente 1072,96 anos para que a quantidade de ozônio se reduza a 20% da quantidade inicial.
Exercícios relacionados
Aprox. 4,6 segundos