f^{-1}(x) = ln((x-1)/(x+1));

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função inversa . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função original . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções inversas e logaritmos. Precisamos entender que se é a inversa de , então aplicando em a gente volta pro . Vamos usar essa ideia para descobrir .

Passo 2

Primeiro, vamos deixar claro que se , então por definição de função inversa, temos que . Então, começamos definindo:
Agora, nosso objetivo é encontrar em termos de , porque afinal, .

Passo 3

Vamos resolver a equação para . Começamos elevando na potência de ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos distribuir dentro dos parênteses:
Queremos isolar , então vamos trazer todos os termos com para um lado e os demais para o outro:

Passo 5

Fatoramos no lado esquerdo da equação:
Agora, para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Podemos simplificar a expressão multiplicando numerador e denominador por -1:

Passo 7

Lembrando que , podemos substituir por para obter a função original:

Resposta

A função original é .

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