Siendo n un entero no nulo, mostrar que la función
presenta en el punto (
) una ensilladura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para provar que a função tem um ponto de sela no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de pontos críticos e à classificação desses pontos usando derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o comportamento delas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são zero. Para
:
Isso acontece quando
, onde
é um inteiro.
Para
:
Isso ocorre quando
ou
.
Passo 5
Estamos interessados no ponto
. Vamos verificar se ele é um ponto crítico:
- Substituindo
em :
- E substituindo
e em :
Portanto,
é de fato um ponto crítico.
Passo 6
Para classificar o ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais. Vamos calcular
,
e
:
Passo 7
No ponto
, as segundas derivadas são:
Passo 8
A matriz Hessiana
no ponto
fica:
O determinante da Hessiana é:
Como
, isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
Portanto, a função apresenta uma ensiladura no ponto
.
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Se sabe que la función
, donde
es un cierto real, presenta un punto estacionario
tal que
. Determinar
.
Seja
uma função derivável tal que
. Calcule
e