Siendo n un entero no nulo, mostrar que la función f(x, y) = x * sen(n * y) presenta en el punto ( 0, pi ) una ensilladura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para provar que a função tem um ponto de sela no ponto . Isso está relacionado ao estudo de pontos críticos e à classificação desses pontos usando derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o comportamento delas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são zero. Para :
Isso acontece quando , onde é um inteiro.
Para :
Isso ocorre quando ou .

Passo 5

Estamos interessados no ponto . Vamos verificar se ele é um ponto crítico:
  • Substituindo em :
  • E substituindo e em :
Portanto, é de fato um ponto crítico.

Passo 6

Para classificar o ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais. Vamos calcular , e :

Passo 7

No ponto , as segundas derivadas são:

Passo 8

A matriz Hessiana no ponto fica:
O determinante da Hessiana é:
Como , isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

Portanto, a função apresenta uma ensiladura no ponto .

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