Sabe-se que a população de bactérias no instante t (em horas) é dada por P(t) = 3⁵.2t. Sabendo-se que
inicialmente existem 3⁵ bactérias, quantas horas são necessárias para que se tenha a primeira quantidadesuperior a 10.000 bactérias?
inicialmente existem 3⁵ bactérias, quantas horas são necessárias para que se tenha a primeira quantidadesuperior a 10.000 bactérias?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma população de bactérias que cresce com o tempo, e essa população é descrita pela função $ P(t) = 3^5 \cdot 2^t
t = 0 $) já temos $ 3^5 $ bactérias. A pergunta é: quantas horas precisam passar para que o número de bactérias ultrapasse 10.000?
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de exponenciais e logaritmos, que ajudam a resolver equações onde a incógnita está no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de $ 3^5 $ para saber quantas bactérias temos inicialmente.
Então, inicialmente temos 243 bactérias.
Passo 3
A função que descreve a população é $ P(t) = 243 \cdot 2^t $. Queremos saber quando $ P(t) $ será maior que 10.000. Então, montamos a desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ 2^t $. Para isso, dividimos os dois lados da desigualdade por 243:
Calculando a divisão:
Então, temos:
Passo 5
Para resolver uma equação exponencial onde a incógnita está no expoente, usamos logaritmos. Vamos aplicar o logaritmo na base 2 em ambos os lados da desigualdade:
Sabemos que $ \log_2(2^t) = t $, então:
Passo 6
Agora, precisamos calcular $ \log_2(41,152) $. Podemos usar a mudança de base para calcular isso com uma calculadora:
Calculando:
Passo 7
Então, temos que:
Como tempo é contado em horas completas, arredondamos para cima. Portanto, são necessárias 16 horas para que a quantidade de bactérias seja superior a 10.000.
Resposta
Serão necessárias 16 horas para que a quantidade de bactérias ultrapasse 10.000.