Sabe-se que a população de bactérias no instante t (em horas) é dada por P(t) = 3⁵.2t. Sabendo-se que
inicialmente existem 3⁵ bactérias, quantas horas são necessárias para que se tenha a primeira quantidadesuperior a 10.000 bactérias?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma população de bactérias que cresce com o tempo, e essa população é descrita pela função $ P(t) = 3^5 \cdot 2^t P(t) = 3^5 cdot 2^t t = 0 $) já temos $ 3^5 $ bactérias. A pergunta é: quantas horas precisam passar para que o número de bactérias ultrapasse 10.000?
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de exponenciais e logaritmos, que ajudam a resolver equações onde a incógnita está no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de $ 3^5 $ para saber quantas bactérias temos inicialmente.
3^5
Então, inicialmente temos 243 bactérias.

Passo 3

A função que descreve a população é $ P(t) = 243 \cdot 2^t $. Queremos saber quando $ P(t) $ será maior que 10.000. Então, montamos a desigualdade:
P(t) = 243 cdot 2^t

Passo 4

Agora, vamos isolar $ 2^t $. Para isso, dividimos os dois lados da desigualdade por 243:
2^t
Calculando a divisão:
2^t > 10.000243
Então, temos:
10.000243 approx 41,152

Passo 5

Para resolver uma equação exponencial onde a incógnita está no expoente, usamos logaritmos. Vamos aplicar o logaritmo na base 2 em ambos os lados da desigualdade:
log2(2^t) > log2(41,152)
Sabemos que $ \log_2(2^t) = t $, então:
log2(2^t) = t

Passo 6

Agora, precisamos calcular $ \log_2(41,152) $. Podemos usar a mudança de base para calcular isso com uma calculadora:
log2(41,152)
Calculando:
log2(41,152) = ln(41,152)ln(2)
ln(41,152) approx 10,627
ln(2) approx 0,693

Passo 7

Então, temos que:
t > 15,35
Como tempo é contado em horas completas, arredondamos para cima. Portanto, são necessárias 16 horas para que a quantidade de bactérias seja superior a 10.000.

Resposta

Serão necessárias 16 horas para que a quantidade de bactérias ultrapasse 10.000.

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