Qual o volume gerado quando a área entre o eixo x e o traçado de y=2x²-x³ gira em torno do eixo x?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume gerado quando a área entre o eixo $ x $ e o gráfico de $ y = 2x^2 - x^3 $ gira em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente o método de volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração, ou seja, os pontos onde a curva $ y = 2x^2 - x^3 $ cruza o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $.
Passo 3
Vamos resolver a equação $ 2x^2 - x^3 = 0 $:
Isso nos dá $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Então, nossos limites de integração são de $ x = 0 $ a $ x = 2 $.
Passo 4
Agora, para encontrar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo $ x $, usamos a fórmula do volume de rotação:
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = 2 $, e $ y = 2x^2 - x^3 $.
Passo 5
Vamos substituir $ y $ na fórmula:
Agora, precisamos expandir a expressão dentro do integral.
Passo 6
Expandindo $ (2x^2 - x3)2 $:
Então, o integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Agora, avaliamos a expressão nos limites de $ x = 2 $ e $ x = 0 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 0 $, todos os termos são zero.
Passo 9
Agora, vamos somar as frações:
Para somar, encontramos o denominador comum, que é 105:
Resposta
O volume gerado é $ \frac{128}{105} \pi $ unidades cúbicas.