Qual o volume gerado quando a área entre o eixo x e o traçado de y=2x²-x³ gira em torno do eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume gerado quando a área entre o eixo $ x $ e o gráfico de $ y = 2x^2 - x^3 $ gira em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente o método de volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração, ou seja, os pontos onde a curva $ y = 2x^2 - x^3 $ cruza o eixo $ x $. Isso acontece quando $ y = 0 $.

Passo 3

Vamos resolver a equação $ 2x^2 - x^3 = 0 $:
2x^2 - x^3 = 0
Isso nos dá $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Então, nossos limites de integração são de $ x = 0 $ a $ x = 2 $.

Passo 4

Agora, para encontrar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo $ x $, usamos a fórmula do volume de rotação:
x
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = 2 $, e $ y = 2x^2 - x^3 $.

Passo 5

Vamos substituir $ y $ na fórmula:
y
Agora, precisamos expandir a expressão dentro do integral.

Passo 6

Expandindo $ (2x^2 - x3)2 $:
(2x^2 - x^3)^2
Então, o integral fica:
(2x^2 - x^3)^2 = 4x^4 - 4x^5 + x^6

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 4x^4 , dx = 4x^55
integral -4x^5 , dx = -4x^66 = -2x^63
integral x^6 , dx = x^77
Portanto:
V = pi [ 4x^55 - 2x^63 + x^77 ]0^2

Passo 8

Agora, avaliamos a expressão nos limites de $ x = 2 $ e $ x = 0 $:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = 0 $, todos os termos são zero.

Passo 9

Agora, vamos somar as frações:
1285 - 1283 + 1287
Para somar, encontramos o denominador comum, que é 105:
128 times 21105 - 128 times 35105 + 128 times 15105 = 2688 - 4480 + 1920105 = 128105

Resposta

O volume gerado é $ \frac{128}{105} \pi $ unidades cúbicas.

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