Sabe-se que a população de bactérias no instante t (em horas) é dada por P(t) = 35.2t. Sabendo-se que inicialmente existem 35 bactérias, quantas horas são necessárias para que se tenha a primeira quantidade superior a 10.000 bactérias?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma população de bactérias que cresce com o tempo, e essa população é descrita pela função $ P(t) = 35 \times 2^t $, onde $ P(t) $ é a quantidade de bactérias no instante $ t $ (em horas). A gente sabe que inicialmente, ou seja, quando $ t = 0 $, existem 35 bactérias. A pergunta é: quantas horas são necessárias para que a população seja maior que 10.000 bactérias?
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e logaritmos. Vamos resolver passo a passo para chegar à resposta.

Passo 2

Sabemos que queremos encontrar o tempo $ t $ para o qual $ P(t) > 10.000 $. Então, vamos montar a seguinte inequação:
t
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ t $ que satisfaz essa condição.

Passo 3

Primeiro, vamos isolar $ 2^t $. Para isso, dividimos ambos os lados da inequação por 35:
2^t
Calculando a divisão:
2^t > 10.00035

Passo 4

Agora, para resolver essa inequação onde a incógnita está no expoente, usamos logaritmos. Vamos aplicar o logaritmo na base 2 em ambos os lados da inequação. Isso nos permite trazer o $ t $ para fora do expoente:
t
Sabemos que $ \log_2(2^t) = t $, então:
log2(2^t) > log2(285,714)

Passo 5

Como geralmente trabalhamos com logaritmos na base 10 ou naturais, vamos usar a mudança de base para calcular $ \log_2(285,714) $. A fórmula para mudança de base é:
log2(285,714)
Aplicando isso:
logb(a) = log(a)log(b)

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores dos logaritmos:
log(285,714) approx 5,456
log(2) approx 0,301
Então:
t > 5,4560,301 approx 18,12

Resposta

São necessárias aproximadamente 18 horas para que a população de bactérias ultrapasse 10.000.

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