Sabe-se que as quatro equações de Maxwell formam as bases do eletromagnetismo clássico e que elas descrevem como cargas e correntes criam campos elétricos e magnéticos.
Escreva as quatro equações de Maxwell na forma integral, para o vácuo;
Escreva as quatro equações de Maxwell na forma integral, para o vácuo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever as quatro equações de Maxwell na forma integral, especificamente para o vácuo. Isso está dentro do campo do eletromagnetismo clássico, que estuda como cargas elétricas e correntes criam campos elétricos e magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar entender cada uma das quatro equações de Maxwell e como elas se expressam de forma integral quando não há material (como ar ou outro meio) presente, ou seja, no vácuo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a Lei de Gauss para o Campo Elétrico. Essa lei nos diz como as cargas elétricas estão relacionadas ao campo elétrico que elas criam. Na forma integral, ela é expressa como:
Aqui,
representa uma integral de superfície fechada,
é o campo elétrico,
é um elemento de área,
é a carga total dentro da superfície fechada e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos para a Lei de Gauss para o Magnetismo. Ao contrário do campo elétrico, não existem “cargas magnéticas” isoladas, ou seja, os monopolos magnéticos não existem (pelo menos até onde sabemos). Essa lei reflete isso, mostrando que a divergência do campo magnético é zero. Na forma integral, fica assim:
Aqui,
é o campo magnético. Isso significa que não há “fluxo magnético líquido” saindo de uma superfície fechada, indicando que os campos magnéticos sempre formam laços fechados.
Passo 4
A terceira equação é a Lei de Faraday da Indução. Ela descreve como um campo magnético variável no tempo pode induzir um campo elétrico. Na forma integral, a lei é:
Aqui,
é uma integral de linha ao redor da borda de uma superfície
,
é um elemento de comprimento ao longo dessa linha, e o lado direito da equação representa a taxa de variação do fluxo magnético através da superfície
. O sinal negativo indica a direção da indução, conforme a Lei de Lenz.
Passo 5
Por último, temos a Lei de Ampère-Maxwell. Originalmente, Ampère formulou uma lei que relacionava um campo magnético a uma corrente elétrica. Maxwell adicionou um termo de deslocamento para corrigir a equação, tornando-a aplicável também a campos variáveis no tempo. A forma integral fica:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente elétrica que passa pela superfície
, e o segundo termo dentro dos parênteses é a corrente de deslocamento, que leva em conta as mudanças no campo elétrico.
Resposta
As quatro equações de Maxwell na forma integral, para o vácuo, são:
- Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
- Lei de Gauss para o Magnetismo:
- Lei de Faraday da Indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Essas equações descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam no vácuo, relacionando cargas elétricas, correntes e as variações temporais desses campos.