Sabe-se que as quatro equações de Maxwell formam as bases do eletromagnetismo clássico e que elas descrevem como cargas e correntes criam campos elétricos e magnéticos.
Escreva as quatro equações de Maxwell na forma integral, para o vácuo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever as quatro equações de Maxwell na forma integral, especificamente para o vácuo. Isso está dentro do campo do eletromagnetismo clássico, que estuda como cargas elétricas e correntes criam campos elétricos e magnéticos. Para resolver isso, vamos precisar entender cada uma das quatro equações de Maxwell e como elas se expressam de forma integral quando não há material (como ar ou outro meio) presente, ou seja, no vácuo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Lei de Gauss para o Campo Elétrico. Essa lei nos diz como as cargas elétricas estão relacionadas ao campo elétrico que elas criam. Na forma integral, ela é expressa como:
ointpartial V E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, ointpartial V representa uma integral de superfície fechada, E é o campo elétrico, dA é um elemento de área, Qenc é a carga total dentro da superfície fechada e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos para a Lei de Gauss para o Magnetismo. Ao contrário do campo elétrico, não existem “cargas magnéticas” isoladas, ou seja, os monopolos magnéticos não existem (pelo menos até onde sabemos). Essa lei reflete isso, mostrando que a divergência do campo magnético é zero. Na forma integral, fica assim:
ointpartial V B cdot dA = 0
Aqui, B é o campo magnético. Isso significa que não há “fluxo magnético líquido” saindo de uma superfície fechada, indicando que os campos magnéticos sempre formam laços fechados.

Passo 4

A terceira equação é a Lei de Faraday da Indução. Ela descreve como um campo magnético variável no tempo pode induzir um campo elétrico. Na forma integral, a lei é:
ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
Aqui, ointpartial S é uma integral de linha ao redor da borda de uma superfície S, dl é um elemento de comprimento ao longo dessa linha, e o lado direito da equação representa a taxa de variação do fluxo magnético através da superfície S. O sinal negativo indica a direção da indução, conforme a Lei de Lenz.

Passo 5

Por último, temos a Lei de Ampère-Maxwell. Originalmente, Ampère formulou uma lei que relacionava um campo magnético a uma corrente elétrica. Maxwell adicionou um termo de deslocamento para corrigir a equação, tornando-a aplicável também a campos variáveis no tempo. A forma integral fica:
ointpartial S B cdot dl = mu0 ( Ienc + varepsilon0 ddt integralS E cdot dA )
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo, Ienc é a corrente elétrica que passa pela superfície S, e o segundo termo dentro dos parênteses é a corrente de deslocamento, que leva em conta as mudanças no campo elétrico.

Resposta

As quatro equações de Maxwell na forma integral, para o vácuo, são:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
ointpartial V E cdot dA = Qencvarepsilon0
  1. Lei de Gauss para o Magnetismo:
ointpartial V B cdot dA = 0
  1. Lei de Faraday da Indução:
ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
  1. Lei de Ampère-Maxwell:
ointpartial S B cdot dl = mu0 ( Ienc + varepsilon0 ddt integralS E cdot dA )
Essas equações descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam no vácuo, relacionando cargas elétricas, correntes e as variações temporais desses campos.

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