Sabemos que existe P inversível tal que:
[rrr 3 & -3 & 3 -2 & 3 & 4 8 & -9 & -4 ]=P[rrr -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [r-4 * -3]
(B) [r-4 * -1]
© [r-4 * -4]
(D) [r-4 * -2]
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é semelhante a uma matriz diagonal através de uma matriz invertível . Ou seja, . A matriz é diagonal com elementos , e , onde . A pergunta quer saber de qual vetor a terceira coluna da matriz é múltipla. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mudança de base e autovetores em Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que quando temos , as colunas de são autovetores de correspondentes aos autovalores na diagonal de . Isso significa que cada coluna de é um vetor não nulo tal que , onde é o autovalor correspondente.

Passo 3

No nosso caso, os autovalores são , e . A terceira coluna de corresponde ao autovalor . Então, precisamos encontrar um autovetor de associado a .

Passo 4

Para encontrar o autovetor correspondente a , vamos precisar resolver a equação , onde é a matriz identidade e é o autovetor. No entanto, como não conhecemos os valores de e , podemos utilizar as opções fornecidas para verificar qual delas satisfaz essa condição.

Passo 5

Observando as opções, todas começam com na primeira componente e , , ou na terceira. Vamos testar qual dessas opções é um autovetor de .

Passo 6

Vamos supor que a terceira coluna de -4 * -3 seja múltipla de -4 y -3 (opção A). Precisamos verificar se -4 y -3 .
Multiplicando:
A -4 y -3 = 3(-4) + (-3)y + 3(-3) -2(-4) + 3y + 4(-3) 8(-4) + (-9)y + (-4)(-3) = -12 -3y -9 8 + 3y -12 -32 -9y +12 = -21 -3y -4 + 3y -20 -9y
Para ser um autovetor, isso deve ser igual a -4 y -3 .
Portanto, temos o sistema:
-4b b y -3b
Esse sistema parece complicado, então vamos tentar outra opção.

Passo 7

Vamos testar a opção D: -4 * -2 .
Multiplicando -4 y -2 por A -4 y -2 = 3(-4) + (-3)y + 3(-2) -2(-4) + 3y + 4(-2) 8(-4) + (-9)y + (-4)(-2) = -12 -3y -6 8 + 3y -8 -32 -9y +8 = -18 -3y 0 + 3y -24 -9y :
-4 y -2
Igualando a -4b b y -2b , temos:
-18 -3y = -4b 3y = b y -24 -9y = -2b
A segunda equação -18 -3y = -12 Rightarrow -3y = 6 Rightarrow y = -2 -24 -9(-2) = -24 +18 = -6 = -2(3) = -6 sugere que (desde que ). Substituindo nas outras equações:
As equações são satisfeitas com e .

Resposta

(D) r-4 * -2

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Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 76 / 5]^n v1.
(A) 2
(B) 6
© 8
(D) 4
(E) 5
(F) 3
(G) 9
(H) 7
(I) Não sei
Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(3 x-6 y+8 z, y5-2 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 7. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é maior do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
(E) Não sei