Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é semelhante a uma matriz diagonal através de uma matriz invertível . Ou seja, . A matriz é diagonal com elementos , e , onde . A pergunta quer saber de qual vetor a terceira coluna da matriz é múltipla. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mudança de base e autovetores em Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que quando temos , as colunas de são autovetores de correspondentes aos autovalores na diagonal de . Isso significa que cada coluna de é um vetor não nulo tal que , onde é o autovalor correspondente.
Passo 3
No nosso caso, os autovalores são , e . A terceira coluna de corresponde ao autovalor . Então, precisamos encontrar um autovetor de associado a .
Passo 4
Para encontrar o autovetor correspondente a , vamos precisar resolver a equação , onde é a matriz identidade e é o autovetor. No entanto, como não conhecemos os valores de e , podemos utilizar as opções fornecidas para verificar qual delas satisfaz essa condição.
Passo 5
Observando as opções, todas começam com na primeira componente e , , ou na terceira. Vamos testar qual dessas opções é um autovetor de .
Passo 6
Vamos supor que a terceira coluna de -4 * -3 seja múltipla de -4 y -3 (opção A). Precisamos verificar se -4 y -3 .
A segunda equação -18 -3y = -12 Rightarrow -3y = 6 Rightarrow y = -2 -24 -9(-2) = -24 +18 = -6 = -2(3) = -6 sugere que (desde que ). Substituindo nas outras equações: