Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz que representa a reflexão em relação ao plano no espaço tridimensional . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes de reflexão. Vamos descobrir qual das opções dadas corresponde a essa matriz de reflexão.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como construir a matriz de reflexão em relação a um plano. A reflexão em um plano pode ser representada por uma matriz R = I - 2nn^T que transforma qualquer vetor em sua reflexão no plano. A forma geral da matriz de reflexão é:
Aqui, é a matriz identidade e é um vetor normal (perpendicular) ao plano, normalizado (ou seja, com comprimento 1).
Passo 3
Vamos encontrar o vetor normal ao plano n = 2 6 2 . Os coeficientes de |n| = raiz2^2 + 6^2 + 2^2 = raiz4 + 36 + 4 = raiz44 = 2raiz11 , u = 12raiz11 2 6 2 = 1raiz11 3raiz11 1raiz11 e na equação do plano dão diretamente o vetor normal:
Agora, precisamos normalizar esse vetor. O comprimento de é:
Então, o vetor normalizado é:
Passo 4
Agora, vamos construir a matriz de reflexão R = I - 2uu^T usando a fórmula:
Agora, vamos comparar essa matriz com as opções dadas no exercício. Observando as opções, percebemos que a matriz correta deve corresponder a essa forma. A opção (A) tem uma estrutura semelhante envolvendo a inversa e multiplicações, mas não corresponde exatamente ao que calculamos. Fazendo uma análise detalhada das opções, percebemos que a opção correta é a (F):