A matriz que representa a reflexão através do plano 2 x+6 y+2 z=0 em R^3 pode ser obtida pelo seguinte cálculo:
(A) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1[rrr1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
(B) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1[rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
© [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(D) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(E) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]-1 [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
(F) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz que representa a reflexão em relação ao plano no espaço tridimensional . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes de reflexão. Vamos descobrir qual das opções dadas corresponde a essa matriz de reflexão.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como construir a matriz de reflexão em relação a um plano. A reflexão em um plano pode ser representada por uma matriz R = I - 2nn^T que transforma qualquer vetor em sua reflexão no plano. A forma geral da matriz de reflexão é:
Aqui, é a matriz identidade e é um vetor normal (perpendicular) ao plano, normalizado (ou seja, com comprimento 1).

Passo 3

Vamos encontrar o vetor normal ao plano n = 2 6 2 . Os coeficientes de |n| = raiz2^2 + 6^2 + 2^2 = raiz4 + 36 + 4 = raiz44 = 2raiz11 , u = 12raiz11 2 6 2 = 1raiz11 3raiz11 1raiz11 e na equação do plano dão diretamente o vetor normal:
Agora, precisamos normalizar esse vetor. O comprimento de é:
Então, o vetor normalizado é:

Passo 4

Agora, vamos construir a matriz de reflexão R = I - 2uu^T usando a fórmula:
uu^T = 1raiz11 3raiz11 1raiz11 1raiz11 & 3raiz11 & 1raiz11 = 111 1 & 3 & 1 3 & 9 & 3 1 & 3 & 1
Calculando o produto R = I - 2 times 111 1 & 3 & 1 3 & 9 & 3 1 & 3 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 211 1 & 3 & 1 3 & 9 & 3 1 & 3 & 1 :
R = 1 - 211 & 0 - 611 & 0 - 211 0 - 611 & 1 - 1811 & 0 - 611 0 - 211 & 0 - 611 & 1 - 211 = 911 & -611 & -211 -611 & -711 & -611 -211 & -611 & 911
Então,
Calculando a subtração:

Passo 5

Agora, vamos comparar essa matriz com as opções dadas no exercício. Observando as opções, percebemos que a matriz correta deve corresponder a essa forma. A opção (A) tem uma estrutura semelhante envolvendo a inversa e multiplicações, mas não corresponde exatamente ao que calculamos. Fazendo uma análise detalhada das opções, percebemos que a opção correta é a (F):
[rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
Isso porque a construção da reflexão envolve uma inversa e a matriz de reflexão em si.

Resposta

A alternativa correta é a letra F.

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