Seja , onde . Determine a base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que fala sobre mudança de base. A questão nos dá uma matriz de transição entre duas bases, e , e nos pede para descobrir qual é a base . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como usar a matriz de transição para encontrar os vetores da nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que “geram” todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

A matriz de transição nos mostra como os vetores da base são representados na base . Cada coluna dessa matriz é a representação de um vetor da base na base .

Passo 4

Vamos olhar para a matriz dada:
Isso significa que:
  • O primeiro vetor de é .
  • O segundo vetor de é .
  • O terceiro vetor de é .

Passo 5

Sabemos que a base é formada pelos vetores:
Vamos denotar esses vetores como , e .

Passo 6

Agora, vamos calcular cada vetor da base :
  • Para o primeiro vetor de :
  • Para o segundo vetor de :
  • Para o terceiro vetor de :

Resposta

A base é formada pelos vetores:

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