Seja , onde A=(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1). Determine a base B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que fala sobre mudança de base. A questão nos dá uma matriz de transição entre duas bases, e , e nos pede para descobrir qual é a base . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como usar a matriz de transição para encontrar os vetores da nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que “geram” todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
A matriz de transição nos mostra como os vetores da base são representados na base . Cada coluna dessa matriz é a representação de um vetor da base na base .
Passo 4
Vamos olhar para a matriz dada:
[I]B^A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Isso significa que:
O primeiro vetor de é .
O segundo vetor de é .
O terceiro vetor de é .
Passo 5
Sabemos que a base A = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1) é formada pelos vetores:
Vamos denotar esses vetores como , e .
Passo 6
Agora, vamos calcular cada vetor da base b1 = 1 times a1 + 0 times a2 + 1 times a3 = (1, 0, 0) + (0, 0, 0) + (0, 1, 1) = (1, 1, 1) :
Para o primeiro vetor de b2 = 0 times a1 + 1 times a2 + 1 times a3 = (0, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 1, 1) = (0, 2, 1) :
b3 = 1 times a1 + 1 times a2 + 1 times a3 = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 1, 1) = (1, 2, 1)
Para o segundo vetor de :
Para o terceiro vetor de :
Resposta
A base B = , (1, 1, 1), , (0, 2, 1), , (1, 2, 1) , é formada pelos vetores: