Sabendo que a área total do corpo é igual a 1,20 m^2 e que a temperatura da pele é 30^circ C, calcule a taxa total de transferência de calor do corpo por radiação. Se o meio ambiente está a uma temperatura de 20^circ C, qual é a taxa resultante do calor perdido pelo corpo por radiação? A emissividade do corpo é próxima da unidade, independentemente da cor da pele.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transferência de calor por radiação! O enunciado nos dá a área total do corpo, a temperatura da pele e do ambiente, e pede para calcular a taxa de transferência de calor por radiação. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que descreve como o calor é emitido por corpos em função da sua temperatura. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Stefan-Boltzmann para a taxa de transferência de calor por radiação:
Q = varepsilon sigma A T^4
Onde:
  • $ Q $ é a taxa de transferência de calor (em watts, W),
  • $ \varepsilon $ é a emissividade do corpo (sem unidade),
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ($ 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $),
  • $ A $ é a área da superfície (em metros quadrados, m²),
  • $ T $ é a temperatura absoluta do corpo (em kelvin, K).

Passo 3

Antes de aplicar a fórmula, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, porque a fórmula da Lei de Stefan-Boltzmann trabalha com temperaturas absolutas.
A conversão é feita assim:
T(K) = T(°C) + 273,15
Então:
  • Temperatura da pele: $ 30^{\circ}C = 30 + 273,15 = 303,15 , K $
  • Temperatura do ambiente: $ 20^{\circ}C = 20 + 273,15 = 293,15 , K $

Passo 4

Agora, vamos calcular a taxa total de transferência de calor por radiação emitida pelo corpo usando a fórmula:
Qtotal = varepsilon sigma A Tpe<=^4
Substituindo os valores:
  • $ \varepsilon \approx 1 $ (dado no enunciado),
  • $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $,
  • $ A = 1,20 , m^2 $,
  • $ T_{pele} = 303,15 , K $.
Então:
varepsilon approx 1

Passo 5

Vamos calcular $ (303,15)^4 $:
(303,15)^4
Agora, multiplicando todos os valores:
303,15^4 = 303,15 times 303,15 times 303,15 times 303,15 approx 8,482 times 10^9 , K^4
Qtotal = 1 times 5,67 times 10^-8 times 1,20 times 8,482 times 10^9

Passo 6

Multiplicando os números:
5,67 times 1,20 = 6,804 times 10^-8 + 0 = 6,804 times 10^-8
Então:
Qtotal = 6,804 times 10^-8 times 8,482 times 10^9
Multiplicando as potências de 10:
6,804 times 8,482 = 57,66
E:
10^-8 times 10^9 = 10^1
Portanto:
Qtotal = 57,66 times 10^1 = 576,6 , W

Passo 7

Agora, para encontrar a taxa resultante de calor perdido pelo corpo, precisamos considerar a radiação que o corpo recebe do ambiente. A fórmula para a taxa líquida de transferência de calor por radiação é:
Qlíquida = varepsilon sigma A (Tpe<=^4 - Tambiente^4) í
Vamos calcular $ T_{ambiente}^4 $:
Tambiente^4

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula da taxa líquida:
Qlíquida = 1 times 5,67 times 10^-8 times 1,20 times (8,482 times 10^9 - 7,359 times 10^9) í
Primeiro, a diferença das temperaturas ao quarto:
8,482 times 10^9 - 7,359 times 10^9 = 1,123 times 10^9 , K^4
Então:
Qlíquida = 5,67 times 10^-8 times 1,20 times 1,123 times 10^9 í

Passo 9

Multiplicando os números:
5,67 times 1,20 = 6,804 times 10^-8 + 0 = 6,804 times 10^-8
Então:
Qlíquida = 6,804 times 10^-8 times 1,123 times 10^9 í
Multiplicando as potências de 10:
6,804 times 1,123 = 7,65
E:
10^-8 times 10^9 = 10^1
Portanto:
Qlíquida = 7,65 times 10^1 = 76,5 , W í

Resposta

A taxa total de transferência de calor por radiação emitida pelo corpo é aproximadamente 576,6 W. Considerando a temperatura do ambiente, a taxa resultante de calor perdido pelo corpo por radiação é de aproximadamente 76,5 W.

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