Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a relação x=6-6 t+t^2, onde x é medido em metros e t é medido em segundos. Existe algum tempo após t=5 s em que a partícula está se movendo em direção à diminuição de x ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo x seguindo a equação x = 6 - 6t + t^2, onde x está em metros e t em segundos. A pergunta é: existe algum tempo depois de t = 5 segundos em que a partícula está se movendo na direção de diminuir o valor de x? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre velocidade e como ela se relaciona com a posição da partícula.

Passo 2

Primeiro, para saber se a partícula está se movendo para a diminuição de x, precisamos encontrar a velocidade dela. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada da função x(t) em relação a t. Vamos calcular isso.
A função dada é:
x(t) = 6 - 6t + t^2
Vamos derivar em relação a t:
v(t) = dxdt = -6 + 2t

Passo 3

Agora que temos a expressão da velocidade v(t) = -6 + 2t, queremos saber quando essa velocidade é negativa, porque velocidade negativa indica que x está diminuindo.
Então, resolvemos a inequação:
-6 + 2t < 0
Vamos resolver para t:
2t < 6 t < 3

Passo 4

A solução da inequação nos diz que a velocidade é negativa quando t < 3 segundos. Mas o exercício pergunta se isso acontece depois de t = 5 segundos.
Aqui, precisamos comparar os valores:
  • A condição t < 3 não se satisfaz quando t > 5.
Isso significa que não existe tempo depois de 5 segundos em que a velocidade seja negativa.

Resposta

Não, após t = 5 segundos, a partícula não está se movendo na direção de diminuição de x.

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