Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a relação x=6-6 t+t^2, onde x é medido em metros e t é medido em segundos. Existe algum instante em que a velocidade é zero?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ de acordo com a equação $ x = 6 - 6t + t^{2} $, onde $ x $ é em metros e $ t $ em segundos. A pergunta é: existe algum momento em que a velocidade dessa partícula é zero? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente como calcular a velocidade a partir da posição usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se $ x(t) $ é a posição, então a velocidade $ v(t) $ é dada por:
x(t)
Vamos calcular essa derivada para a nossa função $ x = 6 - 6t + t^{2} $.

Passo 3

Calculando a derivada de cada termo:
  • A derivada de $ 6 $ em relação a $ t $ é $ 0 $ (porque é uma constante).
  • A derivada de $ -6t $ é $ -6 $.
  • A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $.
Então, juntando tudo:
6

Passo 4

Agora, queremos encontrar o instante em que a velocidade é zero. Ou seja, resolveremos a equação:
v(t) = 0 implies 2t - 6 = 0
Vamos resolver para $ t $:
t

Resposta

Sim, a velocidade da partícula é zero no instante $ t = 3 $ segundos.

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