Sabendo-se que uma área triangular possui como ângulos internos os valores de 32^circ, 58^circ e 90^circ e que a hipotenusa mede 80 m , qual o valor do perímetro dessa área?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com três ângulos internos: 32^circ, 58^circ e 90^circ. Além disso, a hipotenusa desse triângulo mede 80 metros. Nosso objetivo é encontrar o perímetro desse triângulo, ou seja, somar o comprimento dos três lados.

Passo 2

Primeiro, como temos um ângulo de 90^circ, sabemos que estamos lidando com um triângulo retângulo. Nesse tipo de triângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é o maior lado.

Passo 3

Vamos identificar quais são os outros dois lados. Vamos chamar a hipotenusa de c = 80 metros. Os outros dois lados, que são os catetos, vamos chamar de a e b, sendo:
  • a oposto ao ângulo de 32^circ
  • b oposto ao ângulo de 58^circ

Passo 4

Para encontrar os valores de a e b, vamos usar as funções trigonométricas seno e cosseno. Lembrando que:
  • sin(theta) = opostohipotenusa
  • cos(theta) = adjacentehipotenusa

Passo 5

Vamos calcular o lado a usando o seno de 32^circ:
a = c cdot sin(32^circ) = 80 cdot sin(32^circ)
Usando uma calculadora:
sin(32^circ) approx 0,5299 a approx 80 cdot 0,5299 = 42,392 metros

Passo 6

Agora, vamos calcular o lado b usando o seno de 58^circ:
b = c cdot sin(58^circ) = 80 cdot sin(58^circ)
Usando uma calculadora:
sin(58^circ) approx 0,8480 b approx 80 cdot 0,8480 = 67,84 metros

Passo 7

Agora que temos os três lados do triângulo:
  • Hipotenusa: c = 80 m
  • Lado a approx 42,392 m
  • Lado b approx 67,84 m
Para encontrar o perímetro, somamos esses valores:
Perímetro = a + b + c Perímetro approx 42,392 + 67,84 + 80 = 190,232 metros íí

Resposta

O perímetro da área triangular é aproximadamente 190,23 metros.

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