Calcule, caso exista,
. Existe
?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite, se existir, de
quando
se aproxima de 1. Além disso, precisamos verificar se existe o limite de
nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento do cosseno quando seu argumento tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que podemos simplificar a expressão original fatorando o termo comum
:
Agora, a expressão ficou mais simples:
.
Passo 3
Vamos analisar separadamente os dois fatores da expressão:
-
: Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, pois . -
: Aqui, o argumento do cosseno tende a ou dependendo de como se aproxima de 1. A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores reais, então continua oscilando sem se estabilizar em um único valor.
Passo 4
Vamos verificar se
existe. Como o argumento
tende ao infinito, o cosseno não se aproxima de nenhum valor específico; ele simplesmente continua oscilando entre -1 e 1. Portanto, esse limite não existe porque a função não se aproxima de um único valor.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada:
Sabemos que:
-
tende a 0 quando . -
está sempre entre -1 e 1, independentemente do valor de .
Portanto, estamos multiplicando um número que tende a 0 por uma quantidade que permanece limitada entre -1 e 1. Pela propriedade dos limites, se um fator tende a 0 e o outro é limitado, o produto tende a 0. Assim:
Resposta
O limite existe e é igual a 0. Além disso,
não existe.