Calcule, caso exista, lim x 1(x^2 cdot cos (1x-1)-cos (1x-1)). Existe lim x 1 cos (1x-1) ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite, se existir, de quando se aproxima de 1. Além disso, precisamos verificar se existe o limite de nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento do cosseno quando seu argumento tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que podemos simplificar a expressão original fatorando o termo comum x^2 cdot cos(1x-1) - cos(1x-1) = (x^2 - 1) cdot cos(1x-1) :
Agora, a expressão ficou mais simples: .

Passo 3

Vamos analisar separadamente os dois fatores da expressão:
  1. : Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, pois .
  2. : Aqui, o argumento do cosseno tende a ou dependendo de como se aproxima de 1. A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores reais, então continua oscilando sem se estabilizar em um único valor.

Passo 4

Vamos verificar se existe. Como o argumento tende ao infinito, o cosseno não se aproxima de nenhum valor específico; ele simplesmente continua oscilando entre -1 e 1. Portanto, esse limite não existe porque a função não se aproxima de um único valor.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada:
limx 1 (x^2 - 1) cdot cos(1x-1)
Sabemos que:
  • limx 1 (x^2 - 1) cdot cos(1x-1) = 0 tende a 0 quando .
  • está sempre entre -1 e 1, independentemente do valor de .
Portanto, estamos multiplicando um número que tende a 0 por uma quantidade que permanece limitada entre -1 e 1. Pela propriedade dos limites, se um fator tende a 0 e o outro é limitado, o produto tende a 0. Assim:

Resposta

O limite existe e é igual a 0. Além disso, não existe.

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