Uma variável aleatória tem f.d.p. triangular dada a seguir
f(x)=rc x, & 0 <= x <= 1 2-x, & 1
a) P(-1
b) P(X <= 3 / 2) R: 7 / 8
c) P(X >= 2,5) R: 0
d) P(1 / 4 ) R:27/32

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) triangular. Isso significa que a função tem a forma de um triângulo no gráfico. A f.d.p. é definida por:
f(x)=rc x, & 0 <= x <= 1 2-x, & 1
Nosso objetivo aqui é calcular algumas probabilidades específicas para essa variável aleatória $ X $. Vamos precisar usar conceitos de integrais para calcular a probabilidade em determinados intervalos.

Passo 2

Parte a) P(-1 < X < 12)

Primeiro, vamos entender o que estamos calculando. Queremos a probabilidade de $ X $ estar entre -1 e 1/2. Mas, olhando para a nossa f.d.p., ela é diferente de zero apenas entre 0 e 2. Então, $ X $ nunca será menor que 0 ou maior que 2.
Então, a probabilidade X é a mesma que X .
Para calcular essa probabilidade, vamos integrar a f.d.p. de 0 até 1/2:
P(-1 < X < 12)
Vamos fazer a integral:
P(0 <= X < 12)

Passo 3

Parte b) P(X <= 32)

Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 3/2. Como 3/2 está dentro do intervalo onde a f.d.p. é diferente de zero (0 a 2), vamos integrar de 0 até 3/2.
A f.d.p. muda de fórmula em $ X = 1 $, então precisamos dividir a integral nesse ponto:
X
Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro integral:
X = 1
  1. Segundo integral:
P(X <= 32) = integral0^1 x , dx + integral1^3/2 (2 - x) , dx
Somando as duas partes:
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12

Passo 4

Parte c) P(X >= 2,5)

Agora, queremos a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a 2,5. Mas, olhando para a nossa f.d.p., ela é zero para $ X $ maior que 2. Portanto:
X

Passo 5

Parte d) P(14 < X < 32)

Queremos a probabilidade de $ X $ estar entre 1/4 e 3/2. Vamos dividir a integral conforme a mudança na f.d.p. em $ X = 1 $:
X
Calculando cada parte:
  1. Primeiro integral:
X = 1
  1. Segundo integral (já calculado na parte b)):
P(14 < X < 32) = integral1/4^1 x , dx + integral1^3/2 (2 - x) , dx
Somando as duas partes:
integral1/4^1 x , dx = [ x^22 ]1/4^1 = 12 - (1/4)^22 = 12 - 132 = 1632 - 132 = 1532

Resposta

a) P(-1 < X < 12) = 18
b) P(X <= 32) = 78
c) P(X >= 52) = 0
d) P(14 < X < 32) = 2732

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