Uma variável aleatória tem f.d.p. triangular dada a seguir
a) P(-1
b) P(X <= 3 / 2) R: 7 / 8
c) P(X >= 2,5) R: 0
d) P(1 / 4 ) R:27/32
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) triangular. Isso significa que a função tem a forma de um triângulo no gráfico. A f.d.p. é definida por:
f(x)=rc x, & 0 <= x <= 1 2-x, & 1
Nosso objetivo aqui é calcular algumas probabilidades específicas para essa variável aleatória $ X $. Vamos precisar usar conceitos de integrais para calcular a probabilidade em determinados intervalos.
Passo 2
Parte a) P(-1 < X < 12)
Primeiro, vamos entender o que estamos calculando. Queremos a probabilidade de $ X $ estar entre -1 e 1/2. Mas, olhando para a nossa f.d.p., ela é diferente de zero apenas entre 0 e 2. Então, $ X $ nunca será menor que 0 ou maior que 2.
Então, a probabilidade X é a mesma que X .
Para calcular essa probabilidade, vamos integrar a f.d.p. de 0 até 1/2:
P(-1 < X < 12)
Vamos fazer a integral:
P(0 <= X < 12)
Passo 3
Parte b) P(X <= 32)
Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 3/2. Como 3/2 está dentro do intervalo onde a f.d.p. é diferente de zero (0 a 2), vamos integrar de 0 até 3/2.
A f.d.p. muda de fórmula em $ X = 1 $, então precisamos dividir a integral nesse ponto: