Encontre uma solução particular da E.D.O. y'' + y = x^2 e^x.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para encontrar uma solução particular da Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) dada por:
Aqui, estamos lidando com uma E.D.O. de segunda ordem com coeficientes constantes. O conteúdo principal envolvido é o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos precisar supor uma forma para a solução particular com base no lado direito da equação, que é , e então determinar os coeficientes desconhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A equação característica para essa E.D.O. é:
Resolvendo para :
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos para a parte não homogênea da equação: . Para encontrar uma solução particular , usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo do lado direito é , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui, , e são coeficientes que iremos determinar.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:

Resposta

A solução particular da E.D.O. é:

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