Sabendo-se que d/dx sen(x) = cos(x) e d/dx cos(x) = -sen(x), encontre d/dx cossec(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar os conhecimentos de derivadas de funções trigonométricas básicas, como seno e cosseno, que já sabemos como derivar.

Passo 2

Sabemos que a função é o inverso da função seno. Ou seja:
Isso significa que podemos escrever como para facilitar a derivação.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Para isso, usamos a regra da derivada de uma função do tipo , que é:
Aqui, e sabemos que .

Passo 4

Aplicando a regra da derivada:
Podemos reescrever essa expressão de forma mais simples usando as funções trigonométricas cotangente e cossecante.

Passo 5

Lembrando que:
Podemos reescrever como:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Derive: f(x) = (raiz(x) * e^x) / (x^3).
Defina o número de Euler, (e), de duas maneiras diferentes. Mostre que essas duas definições são equivalentes.
Encontre a derivada de y = (x^2 + 1) / (x^3 + 2)^3.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f(x) = sen(x) / x.