Encontre a derivada de y = (x^2 + 1) / (x^3 + 2)^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de . Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos chamar de e . Aqui, e . A regra do quociente nos ajuda a derivar funções que são expressas como uma divisão de duas funções, exatamente como temos aqui.

Passo 3

Vamos derivar . A derivada de é:
Isso porque a derivada de é e a derivada de uma constante, como 1, é 0.

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia porque é uma função composta. Seja , então .
Primeiro, derivamos :
Agora, aplicamos a regra da cadeia para :

Passo 5

Com e prontos, aplicamos a regra do quociente que diz:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, percebemos que todos os termos têm um fator comum de , então podemos fatorar:
Simplificando com o denominador:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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