Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f(x) = sen(x) / x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função . Isso envolve entender um pouco de cálculo, como derivadas, para achar onde a função atinge esses extremos. Então, vamos precisar usar derivadas e analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos de uma função, a gente precisa achar onde a derivada dela é igual a zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Então, vamos começar calculando a derivada de .

Passo 3

A função é . Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então .

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
  • então
  • então
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Essa equação não tem solução analítica fácil, então sabemos que os pontos onde a derivada é zero ocorrem nas interseções de e . Graficamente, isso acontece infinitas vezes, mas os valores de diminuem à medida que aumenta.

Passo 6

Além dos pontos críticos, precisamos considerar o comportamento da função perto de e quando tende ao infinito.
Sabemos que:
E quando cresce, tende a 0, já que oscila entre -1 e 1, enquanto fica cada vez maior.

Passo 7

Então, o valor máximo absoluto da função é 1, que ocorre quando se aproxima de 0. Já o valor mínimo absoluto é 0, que é o limite da função quando tende ao infinito.

Resposta

O valor máximo absoluto de é 1, e o valor mínimo absoluto é 0.

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