Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
. Isso envolve entender um pouco de cálculo, como derivadas, para achar onde a função atinge esses extremos. Então, vamos precisar usar derivadas e analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos de uma função, a gente precisa achar onde a derivada dela é igual a zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Então, vamos começar calculando a derivada de
.
Passo 3
A função é
. Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
-
então -
então
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Essa equação não tem solução analítica fácil, então sabemos que os pontos onde a derivada é zero ocorrem nas interseções de
e
. Graficamente, isso acontece infinitas vezes, mas os valores de
diminuem à medida que
aumenta.
Passo 6
Além dos pontos críticos, precisamos considerar o comportamento da função perto de
e quando
tende ao infinito.
Sabemos que:
E quando
cresce,
tende a 0, já que
oscila entre -1 e 1, enquanto
fica cada vez maior.
Passo 7
Então, o valor máximo absoluto da função é 1, que ocorre quando
se aproxima de 0. Já o valor mínimo absoluto é 0, que é o limite da função quando
tende ao infinito.
Resposta
O valor máximo absoluto de
é 1, e o valor mínimo absoluto é 0.
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Encontre a derivada de
.
Sabendo-se que
e
, encontre
Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Sabendo-se que
e
, encontre