Sabendo que y = y(x), determine d/y d/x, através da diferenciação implícita.
x^3 + 2y = 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a derivada de em relação a , ou seja, , usando a diferenciação implícita. A equação que temos é . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e entender como aplicar a diferenciação quando está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando você tem uma expressão como , sua derivada em relação a é . Então, aplicando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada separadamente:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A derivada de em relação a é porque usamos a regra da cadeia.
  3. A derivada de uma constante, como , é .
Substituindo essas derivadas na equação:

Passo 4

Agora, vamos isolando para encontrar a derivada desejada:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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