Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin é uma forma de expandir funções em série de potências ao redor de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a série binomial, que nos ajuda a expandir expressões do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação da série binomial. Observe que:
Isso porque
.
Passo 3
Agora, temos:
Aqui, identificamos que podemos expandir
com
e
.
Passo 4
A série binomial para
é dada por:
Aplicando isso com
e
, temos:
Passo 5
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Agora, multiplicamos essa série por
:
Passo 7
Distribuindo
:
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
Exercícios relacionados
Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo
, com
.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado.
.
®
.