Sabendo que y = y(x), determine d/y d/x, através da diferenciação implícita.
cos(x y) = 1 + sen(y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona e , onde é uma função de . A equação é:
O conteúdo envolvido aqui é diferenciação implícita, que usamos quando está definido de forma implícita em termos de . Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos funções compostas.

Passo 2

Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então quando derivarmos termos que envolvem , teremos que multiplicar pela derivada de em relação a (ou seja, ).

Passo 3

Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação:
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a regra do produto, que diz que . Aqui, e , então:

Passo 5

Substituindo isso de volta na derivada do lado esquerdo:

Passo 6

Agora, vamos derivar o lado direito da equação original:
A derivada de é , e a derivada de é (usando a regra da cadeia).

Passo 7

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 8

Vamos distribuir o no lado esquerdo:

Passo 9

Agora, vamos reunir todos os termos que contêm em um lado da equação:
Fatorando :

Passo 10

Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar o sinal no denominador:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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