Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona
e
, onde
é uma função de
. A equação é:
O conteúdo envolvido aqui é diferenciação implícita, que usamos quando
está definido de forma implícita em termos de
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos funções compostas.
Passo 2
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então quando derivarmos termos que envolvem
, teremos que multiplicar pela derivada de
em relação a
(ou seja,
).
Passo 3
Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação:
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra do produto, que diz que
. Aqui,
e
, então:
Passo 5
Substituindo isso de volta na derivada do lado esquerdo:
Passo 6
Agora, vamos derivar o lado direito da equação original:
A derivada de
é
, e a derivada de
é
(usando a regra da cadeia).
Passo 7
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 8
Vamos distribuir o
no lado esquerdo:
Passo 9
Agora, vamos reunir todos os termos que contêm
em um lado da equação:
Fatorando
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar o sinal no denominador:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Em quais intervalos do conjunto dos números reais
as funções abaixo são contínuas ?
(j)
é definida em
?
Use séries de potências para calcular o limite.
;
É verdadeiro ou falso?
Para todos e
temos
.
Para todos