É verdadeiro ou falso?
Para todos
e
temos
.
Para todos
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está perguntando. A gente tem uma expressão que envolve potências e séries infinitas. O enunciado diz que, para todo número real
e para
, vale que:
Aqui, estamos lidando com Séries de Potências e Teorema Binomial Geral. Para resolver, vamos precisar entender como expandir
usando uma série infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Binomial. Você já sabe que, para um expoente inteiro positivo, podemos expandir
de forma simples. Mas o que acontece se
não for inteiro?
É aí que entra o Teorema Binomial Binomial Geral, que permite expandir
para qualquer número real
, usando uma série infinita.
Passo 3
A fórmula geral do teorema binomial para qualquer real
e
é:
Onde o coeficiente binomial
é dado por:
Isso significa que a série infinita está composta por termos que envolvem produtos decrescentes de
no numerador e fatorial no denominador.
Passo 4
Comparando com o que foi dado no enunciado:
Vemos que é exatamente a mesma coisa que a fórmula geral do teorema binomial para
.
Passo 5
Portanto, a igualdade apresentada no enunciado está correta conforme o Teorema Binomial Geral, desde que
, o que garante a convergência da série.
Resposta
Verdadeiro.
Exercícios relacionados
Use séries de potências para calcular o limite.
;
Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
(l)
.
Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
;