Use séries de potências para calcular o limite.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando séries de potências! A questão pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar expandir o
em série de potências e então simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em uma série de potências. A série de Taylor para
em torno de
é:
Essa série nos dá uma boa aproximação de
para valores de
próximos de 0.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão na expressão original:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Passo 5
Substituindo de volta na fração:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0. Observando cada termo:
Resposta
O limite é
.
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Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
Em quais intervalos do conjunto dos números reais
as funções abaixo são contínuas ?
É verdadeiro ou falso?
Para todos e
temos
.
Para todos
(l)
.