Use séries de potências para calcular o limite.
lim x 0 x-ln (1+x)x^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando séries de potências! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar expandir o em série de potências e então simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir ln(1+x) = x - x^22 + x^33 - x^44 + dots em uma série de potências. A série de Taylor para em torno de é:
Essa série nos dá uma boa aproximação de para valores de próximos de 0.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na expressão original:
x - ln(1+x)x^2 = x - ( x - x^22 + x^33 - x^44 + dots )x^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
x - ( x - x^22 + x^33 - x^44 + dots ) = x - x + x^22 - x^33 + x^44 - dots = x^22 - x^33 + x^44 - dots

Passo 5

Substituindo de volta na fração:
x^22 - x^33 + x^44 - dotsx^2 = x^22x^2 - x^33x^2 + x^44x^2 - dots = 12 - x3 + x^24 - dots

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 0 ( 12 - x3 + x^24 - dots ) = 12 - 0 + 0 - dots = 12 se aproxima de 0. Observando cada termo:

Resposta

O limite é .

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