Sabendo que a distância entre as duas cidades é cerca de 5000 estádios (medida utilizada na época), calcule o raio da Terra medido por Eratóstenes.
Passo 1
Então, galera! Temos um exercício que nos pede para calcular o raio da Terra usando a distância entre duas cidades, que é de aproximadamente 5000 estádios. Vamos usar o método que o Eratóstenes usou, que envolve conceitos de geometria e proporções. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a circunferência da Terra a partir dessa distância e, em seguida, determinar o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que Eratóstenes observou que em Syene (hoje Assuã) o Sol estava diretamente acima no meio do dia do solstício, ou seja, não havia sombra. Já em Alexandria, uma vara vertical lançava sombra nesse mesmo dia. Isso significa que o ângulo entre o Sol e a vertical em Alexandria é diferente de Syene.
Passo 3
Eratóstenes mediu esse ângulo e descobriu que era de aproximadamente 7,2 graus. Sabemos que 7,2 graus é exatamente 1/50 de um círculo completo (360 graus). Então, se a distância entre as duas cidades é de 5000 estádios e isso corresponde a 1/50 da circunferência da Terra, podemos calcular a circunferência total.
Passo 4
Para encontrar a circunferência © da Terra, multiplicamos a distância entre as cidades pelo número de vezes que essa distância cabe na circunferência total. Ou seja:
Passo 5
Agora que temos a circunferência, vamos usar a fórmula da circunferência de um círculo para encontrar o raio ®:
Queremos isolar o raio, então rearranjamos a fórmula:
Passo 6
Substituindo o valor da circunferência que encontramos:
Calculando isso:
Resposta
O raio da Terra medido por Eratóstenes é aproximadamente 39.894 estádios.
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