Sabendo que a distância entre a Terra e o planeta Marte é de 8 times 10^7 km, faça uma estimativa da distância linear entre dois objetos em Marte, para que um observador na Terra possa distingui-los individualmente: utilizando o telescópio do Monte Palomar (diâmetro 5,1 m ). Justifique sua resposta detalhadamente, utilizando como comprimento de onda da luz 550 nm (2,5)

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que a distância entre a Terra e Marte é de 8 times 10^7 km. Queremos estimar qual deve ser a distância entre dois objetos em Marte para que alguém na Terra, usando o telescópio do Monte Palomar (que tem um diâmetro de 5,1 m), consiga distingui-los como separados. Também vamos usar um comprimento de onda da luz de 550 nm. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de resolução angular e difração em telescópios.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a menor angulação que o telescópio pode resolver, ou seja, a resolução angular. Isso é dado pela fórmula de Rayleigh:
theta = 1,22 lambdaD
onde:
  • theta é a resolução angular em radianos,
  • lambda é o comprimento de onda da luz,
  • D é o diâmetro do telescópio.

Passo 3

Vamos converter o comprimento de onda para metros:
lambda = 550 nm = 550 times 10^-9 m
E o diâmetro do telescópio já está em metros:
D = 5,1 m

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula de Rayleigh:
theta = 1,22 times 550 times 10^-95,1 approx 671 times 10^-95,1 approx 1,314 times 10^-7 radianos

Passo 5

Sabendo a resolução angular, podemos relacionar isso à distância linear entre os objetos em Marte. A distância linear s pode ser encontrada pela fórmula:
s = theta times L
onde L é a distância entre a Terra e Marte.

Passo 6

Primeiro, convertemos a distância de quilômetros para metros:
L = 8 times 10^7 km = 8 times 10^10 m

Passo 7

Agora, calculamos s:
s = 1,314 times 10^-7 times 8 times 10^10 = 1,0512 times 10^4 m
Convertendo para quilômetros:
s approx 10.512 km

Resposta

A distância linear entre dois objetos em Marte para que sejam individualmente distinguíveis da Terra com o telescópio do Monte Palomar é de aproximadamente 10,5 km.

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