Sejam
e
três bases ordenadas de
. Encontre:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três bases ordenadas de
:
O que precisamos fazer é encontrar as matrizes de transição entre essas bases. Isso faz parte do conteúdo de Mudança de Base em Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Suponha que queremos mudar as coordenadas de um vetor da base
para a base
. A matriz de transição
) nos ajuda a fazer essa conversão.
Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base
em termos dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos expressar o primeiro vetor de
, que é
, como uma combinação linear dos vetores de
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, então
.
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de
, que é
:
Isso nos dá:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, então
.
Portanto,
Passo 5
Agora, organizamos os coeficientes encontrados em colunas para formar a matriz de transição
:
Passo 6
De maneira semelhante, podemos encontrar as matrizes de transição entre as outras bases. Mas, para simplificar, vamos focar apenas na matriz de transição de
para
neste exemplo.
Resposta
A matriz de transição de
para
é: