Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. O que a gente precisa é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica pra achar soluções específicas quando o lado direito da equação é uma função que a gente consegue “adivinhar” a forma.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Resolvendo essa equação, a gente encontra a solução geral homogênea, que nos dá a base para montar a solução completa.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica:
Essa é uma equação quadrática. Resolvendo, temos:
Então, temos uma raiz dupla:
.
Passo 4
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, mas como não temos elas agora, deixamos assim.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular
da equação original. Como o lado direito é
, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por
para não “repetir” soluções.
Então, assumimos:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Então:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Os termos com
somam:
E os termos constantes somam:
Então, na verdade, todos os termos se cancelam, o que significa que nossa suposição inicial não funcionou. Isso acontece porque
já está na solução homogênea.
Passo 9
Quando isso acontece, a gente precisa multiplicar nossa suposição por
novamente. Então, tentamos:
Vamos recalcular as derivadas.
Passo 10
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 11
Substituindo na equação original:
Então:
Distribuindo:
Simplificando:
Isso resulta em:
Passo 12
Agora, igualamos os coeficientes:
Para os termos sem
:
Os termos com
ficam:
Como a equação precisa ser igual para todo
, a parte com
já está satisfeita.
Resposta
A solução particular da equação é:
Exercícios relacionados
Sabendo-se que
e
são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de
ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e
;
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Sabendo-se que as funções
e
são soluções linearmente independentes da equação