Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. O que a gente precisa é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica pra achar soluções específicas quando o lado direito da equação é uma função que a gente consegue “adivinhar” a forma.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Resolvendo essa equação, a gente encontra a solução geral homogênea, que nos dá a base para montar a solução completa.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica:
Essa é uma equação quadrática. Resolvendo, temos:
Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 4

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente determina com condições iniciais, mas como não temos elas agora, deixamos assim.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação original. Como o lado direito é , que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para não “repetir” soluções.
Então, assumimos:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Então:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Os termos com somam:
E os termos constantes somam:
Então, na verdade, todos os termos se cancelam, o que significa que nossa suposição inicial não funcionou. Isso acontece porque já está na solução homogênea.

Passo 9

Quando isso acontece, a gente precisa multiplicar nossa suposição por novamente. Então, tentamos:
Vamos recalcular as derivadas.

Passo 10

Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 11

Substituindo na equação original:
Então:
Distribuindo:
Simplificando:
Isso resulta em:

Passo 12

Agora, igualamos os coeficientes:
Para os termos sem :
Os termos com ficam:
Como a equação precisa ser igual para todo , a parte com já está satisfeita.

Resposta

A solução particular da equação é:

Exercícios relacionados

Sabendo-se que e são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e ;
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Sabendo-se que as funções e são soluções linearmente independentes da equação
, encontre a solução geral de
.