Sabendo que integral0^+infty e^-x^2 d x=raizpi2, mostre que Lt^-1 / 2=raizpis, s>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a Transformada de Laplace de é para . Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e a integral conhecida .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Lf(t) = integral0^+infty e^-st f(t) dt
No nosso caso, Lt^-1/2 = integral0^+infty e^-st t^-1/2 dt . Então, a Transformada de Laplace que queremos calcular é:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Assim, e .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Lt^-1/2 = integral0^+infty e^-x^2 (x^2s)^-1/2 cdot 2xs dx
Simplificando os termos, fica:
= integral0^+infty e^-x^2 cdot s^1/2x cdot 2xs dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar mais essa expressão. Os = 2raizs integral0^+infty e^-x^2 dx no numerador e denominador se cancelam, e os termos com também se simplificam:

Passo 6

Lembrando da integral conhecida que o enunciado nos deu:
integral0^+infty e^-x^2 dx = raizpi2
Substituímos isso na nossa expressão:
= 2raizs cdot raizpi2

Passo 7

Simplificando os termos finais:
= raizpiraizs = raizpis

Resposta

Assim, mostramos que:
Lt^-1 / 2 = raizpis, s > 0

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