Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites: lim x 0 tg(5 x)sen(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos:
limx 0 tg(5x)sen(3x)
Aqui, vamos usar o primeiro limite fundamental de cálculo, que nos ajuda a resolver limites envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar entender um pouco sobre as funções tangente e seno, e como elas se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
tg(5x) = sen(5x)cos(5x)
Então, nosso limite fica:
limx 0 sen(5x)cos(5x) cdot sen(3x)

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a expressão para facilitar a aplicação do primeiro limite fundamental. Vamos separar os fatores:
limx 0 ( sen(5x)5x cdot 5xsen(3x) cdot 1cos(5x) )

Passo 4

Sabemos pelo primeiro limite fundamental que:
limx 0 sen(kx)kx = 1
Aplicando isso às partes da nossa expressão:
limx 0 sen(5x)5x = 1
limx 0 sen(3x)3x = 1 Rightarrow limx 0 5xsen(3x) = 53
limx 0 cos(5x) = cos(0) = 1

Passo 5

Agora, juntando tudo:
1 cdot 53 cdot 11 = 53

Resposta

O limite vale .

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