Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos:
Aqui, vamos usar o primeiro limite fundamental de cálculo, que nos ajuda a resolver limites envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar entender um pouco sobre as funções tangente e seno, e como elas se comportam perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
Então, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a expressão para facilitar a aplicação do primeiro limite fundamental. Vamos separar os fatores:
Passo 4
Sabemos pelo primeiro limite fundamental que:
Aplicando isso às partes da nossa expressão:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Resposta
O limite vale
.
Exercícios relacionados
Seja
um número real e considere a função
dada por
. Mostre que 2 é raiz do polinômio
se, e somente se,
.
Sabendo que
, mostre que
.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
d) O sólido limitado pelo cilindro pelos planos
.
d) O sólido limitado pelo cilindro
A integral dupla
é uma integral imprópria e pode ser definida como o limite da integral dupla sobre o retângulo
quando
. Mas, se expandirmos o integrando como uma série geométrica, podemos exprimir a integral como a soma de uma série infinita. Mostre que