Seja C um número real e considere a função f: R R dada por
f(x)=c 3 x-5, se x<2 2 x-C, se x >= 2
Determine C para que o limite lim x 2 f(x) exista.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz o limite da função quando se aproxima de 2 existir. Vamos usar conceitos de limites e funções por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o limite existir. Para o limite de quando tende a 2 existir, o limite pela esquerda (quando se aproxima de 2 vindo dos menores) e o limite pela direita (vindo dos maiores) devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (3x - 5) = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1 está um pouquinho menor que 2. A função nessa região é . Então:
Então, o limite pela esquerda é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (2x - C) = 2(2) - C = 4 - C está um pouquinho maior ou igual a 2. A função nessa parte é . Assim:
Portanto, o limite pela direita é .

Passo 5

Para o limite geral existir, os dois limites precisam ser iguais:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x) 1 = 4 - C
Agora, é só resolver para C = 4 - 1 C = 3 :

Resposta

O valor de que faz o limite de quando tende a 2 existir é 3.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites laterais: lim x 1^- f(x) e lim x 1^+ f(x), onde f: R R é dada por
f(x)=c x^2, se x<1 1, se x=1 2 x, se x>1
Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2.
Determine se as seguintes funções são contínuas: f: R -> R, dada por f(x)={sen(3x)/(3x), se x≠0; 2, se x=0}
Sabendo que integral0^+infty e^-x^2 d x=raizpi2, mostre que Lt^-1 / 2=raizpis, s>0.