Seja C um número real e considere a função f: R \ {2,3} -> R dada por f(x) = (x^3 - C*x^2 - 9*x + 9*C) / ((x - 2)*(x - 3)). Mostre que 2 é raiz do polinômio x^3 - C * x^2 - 9 * x + 9 * C se, e somente se, C = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o número 2 é uma raiz do polinômio se e somente se o valor de for igual a 2. Isso envolve entender o que é uma raiz de um polinômio e como determinar o valor de que faz isso acontecer. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de substituição de raízes em polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que 2 é uma raiz do polinômio . Isso quer dizer que, ao substituir na função , o resultado deve ser zero. Ou seja:

Passo 3

Vamos fazer essa substituição:
Calculando cada termo:
Substituindo de volta:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :
Isso mostra que, para que 2 seja uma raiz do polinômio dado, o valor de deve ser 2.
Além disso, a condiç��o é bi-direcional, ou seja, se , então 2 é certamente uma raiz, e se 2 é uma raiz, então tem que ser 2. Portanto, a afirmação "2 é raiz do polinômio se, e somente se, " está comprovada.

Resposta

O valor de que faz com que 2 seja raiz do polinômio é .

Exercícios relacionados

Sabendo que integral0^+infty e^-x^2 d x=raizpi2, mostre que Lt^-1 / 2=raizpis, s>0.
Determine se as seguintes funções são contínuas: f: R -> R, dada por f(x)={sen(3x)/(3x), se x≠0; 2, se x=0}
Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites: lim x 0 tg(5 x)sen(3 x)
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
d) O sólido limitado pelo cilindro x^2 + z^2 = 4 e pelos planos y = -1 e y + z = 4.