(d) Sabendo que , podemos concluir que a série
( ) diverge
( ) converge para
( ) converge mas não podemos afirmar qual é o valor da soma

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que relaciona integrais e séries. A questão nos dá que a integral de de 1 até infinito é igual a . O conteúdo aqui é sobre Teste da Integral para determinar a convergência de uma série. Vamos precisar entender como comparar a série com a integral para ver se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teste da Integral diz que se é uma função contínua, positiva e decrescente para e se a integral de de até infinito converge, então a série também converge. No nosso caso, é contínua, positiva e decrescente para .

Passo 3

Como foi dado que , que é um número finito, segundo o Teste da Integral, sabemos que a série converge.

Passo 4

Agora, a questão pergunta se essa série converge e qual é o valor da soma. Sabemos que a integral nos mostra que a série converge, mas ela não nos dá exatamente o valor da soma da série. Para encontrar o valor exato, precisaríamos de outras técnicas ou conhecimentos específicos, como a função zeta de Riemann, que nesse caso dá o valor conhecido como constante de Apery, aproximadamente 1.202.

Resposta

( ) converge mas não podemos afirmar qual é o valor da soma

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