Sabendo que integrala^b x^k d x=b^k+1-a^k+1k+1, encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
integral-1^1(x^3-2 x)^2 d x

Passo 1

Então, mano, temos a tarefa de calcular a integral definida de de a . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a expansão de potências e propriedades das integrais. Para resolver isso, vamos precisar expandir o polinômio dentro da integral e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (x^3 - 2x)^2 = x^3 cdot x^3 + x^3 cdot (-2x) + (-2x) cdot x^3 + (-2x) cdot (-2x) . Isso significa multiplicar o polinômio por ele mesmo:
x^6 - 4x^4 + 4x^2
Simplificando:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral-1^1 (x^6 - 4x^4 + 4x^2) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Integrando integral x^6 , dx = x^77 :
integral -4x^4 , dx = -4 cdot x^55 = -4x^55
Integrando integral 4x^2 , dx = 4 cdot x^33 = 4x^33 :
Integrando :

Passo 5

Agora, vamos avaliar cada uma dessas integrais de [ x^77 - 4x^55 + 4x^33 ]-1^1 a :

Passo 6

Calculando para 1^77 - 4 cdot 1^55 + 4 cdot 1^33 = 17 - 45 + 43 :
(-1)^77 - 4 cdot (-1)^55 + 4 cdot (-1)^33 = -17 + 45 - 43
Calculando para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
( 17 - 45 + 43 ) - ( -17 + 45 - 43 ) = 27 - 85 + 83

Passo 8

Agora, vamos encontrar um denominador comum, que é 105:
2 cdot 15105 - 8 cdot 21105 + 8 cdot 35105 = 30 - 168 + 280105 = 142105
Simplificando:
142105 = 142 div 7105 div 7 = 20,285715 approx 1,36

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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